【笔记】 不超过 n 的与 n 互质的数的乘积模 n

\[\left( \prod_{\gcd(i,n)=1}^{n}i \right) \bmod n \]

结论：该式子结果为 \(1\) 或 \(-1\)。

简单证法

打表可得。（逃）

先特殊讨论 \(1,2\) 都成立。

不难发现这些数都有逆元，如果满足 \(p \not\equiv p^{-1} \pmod n\)，那么它们两两相乘最后得到的结果就是 \(1\)。

如果不幸地 \(p^2\equiv1 \pmod n\)，那么有 \((n-p)^2=n^2-2np+p^2 \equiv 1 \pmod n\)，所以依然可以两两配对，乘积为 \(-1\)。

唯一特殊情况为 \(2p=n\)，此时 \(\gcd(2p,n)=p\)，故此数字不会被计入答案。

例题 CF1514C

题意：从 \(1,2,\cdots,n-1\) 中选尽可能多的数出来，使得其乘积模 \(n\) 为 \(1\)。

题解：首先肯定不能选不互质的数，然后就转化为上述问题。根据乘积为 \(1\) 或 \(-1\) 决定是否去除 \(n-1\)。