【笔记】 如何求直线交点（详细揭秘） 计算几何

这是一篇灌水博客。

定义一条射线有一个起始位置 $\boldsymbol p$ 和一个方向向量 $\boldsymbol d$，记作 $<\boldsymbol p,\boldsymbol d>$

一条直线就可以表示为这条射线所在的直线。

一条线段也可以用这个形式表示。

一个半平面就可以表示为这条有向直线的左侧平面。

那么如何判断两条直线的交点呢？

例题一、给定两直线 $<\boldsymbol p_1,\boldsymbol d_1>,<\boldsymbol p_2,\boldsymbol d_2>$，求出它们的交点坐标。

一个直观而又显而易见的做法是解直线方程——但这太麻烦了。除过来除过去还要特判分母是不是 $0$。

当初向计算几何引入向量就是为了避免这些麻烦的，我们不妨用向量来做。

设两直线分别过 $AB$，$CD$，如图所示：

由于交点 $E$ 在直线 $CD$ 上，根据高中数学可以知道，$\vec {OE}=k \vec{OC}+(1-k) \vec{OD}$。

其中 $k:1-k=|EC|:|ED|$。

显然 $|EC|:|ED|$ 可以看成 $S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ABC}$，于是就做完了。