新生赛 1011 世界的光棍节礼物

题目：

     现在，11.11在大学生活中是个特殊的日子，很多学校都把它当成男生节，作为师姐，LPT也想给师弟发下福利，可是师弟那么多，如何发？于是她想了一个点子，
可以出一道数学题考考师弟们，前三位AC这道题的师弟就可以得到小礼物啦！
有一组数列，它有n+2个元素，a[0],a[1], ..., a[n+1] (n <= 3000, -10000 <= a[i]<=10000) ，对于i = 1，2，3，...，n满足$a_i-c_i=\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{2}-b_i$，
如果给出a[0]，a[n+1] 以及集合B、C的所有元素值（即给出b[1],b[2]...b[n]和c[1],c[2],...,c[n]，-100≤b[i], c[i]≤100），都是保留小数点后两位的数，聪明的
你能否算出a[1]？

思路：

      首先，常数项可以并在一起，$a_i-c_i=\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{2}-b_i$, 用 $d_i  = b_i -c_i$ 把式子变形成：$a_i=\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{2}-d_i$

再次变形：$a_{i+1} - a_i - 2d_i = a_i - a_{i-1}$         ···  (1)

      然后，i = 1开始，到i = n，根据公式得到 n个式子：

　　　　$a_2 - a_1 - 2d_1 = a_1 - a_0$   

　　　　$a_3 - a_2 - 2d_2 = a_2 - a_1$   

　　　　···

　　　　$a_{n+1} - a_n - 2d_n = a_n - a_{n-1}$   

      把这n个式子累加，得到

 　　　　$a_0 - a_1 + a_{n+1} - a_n - 2 * \sum^{n}_{i = 1}d_i  = 0$       ··· (2)

      由式（1）可得

 　　　　$a_{n+1} - a_n - 2d_n= a_n - a_{n-1}$    

　　代入（2）可得代入                      

　　　　 $ a_0 - a_1 + a_n - a_{n-1} - 2 *\sum^{n-1}_{i = 1}d_i=0$        ··· (3)

      重复，得到：

　　　　$a_0 - a_1 + a_2 - a_1 - 2d_1 = 0$          ··· (n+1)

      将式(2)加到式子(n+1)，得：

　　　　$a_1=\frac{n*a_0 + a_{n+1} - 2 * n * d_1 - 2 * (n-1) * d_2 - ··· - 2 * d_n}{n+1}$

 

 代码：

 

#include<cstdio>
int main()
{
    //freopen("data_in.txt", "r", stdin);
    //freopen("data_out.txt", "w", stdout);
    int n, i, T;
    double  a1, x, y, b[3010], c[3010], d[3010], sum;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        sum = 0.0;
        scanf("%d", &n);
        scanf("%lf%lf", &x, &y);
        for(i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%lf", &b[i]);
        }
        for(i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%lf", &c[i]);
            d[i] = b[i] - c[i];
        }
        for(i = 1; i <= n; i++)
        {
            sum += 2 * (n - i + 1) * d[i];
        }
        a1 = (n * x - sum + y) / ( n + 1);
        printf("%.2lf\n", a1);
    }

    return 0;
}