Opengl入门基础（七）-数学基础

opengl除了基础的模型构建和贴图，还需要进行位置变换，缩放等功能，之前定义的顶点坐标（0，0.5，0），纹理坐标（0，0.5）实际上是一个向量，而对多个坐标构成的模型进行变换、缩放实际上是向量与矩阵相乘的结果，这涉及一些向量和矩阵的基础数学知识：

向量

Opengl只涉及三维，这里讨论的向量在一维到三维，三维向量如下：

向量的二维坐标，即z为0，向量的两个属性：大小和方向，通常默认(0,0,0)为初始点，一个向量为(1,2,3)，即：自(0,0,0)出发，指向(1,2,3)点的一个向量（向量是有方向的，但是方向不影响向量的值），但是也可以自己定义出发点，比如从（0,0,1）为初始点，（1,2,3）为终点。

向量和标量的计算

标量，理解为一个数，1，3，5这都是标量，数学里是没有向量与标量的计算的，但是Opengl里的很多数学库都支持，举个例子：

向量与标量的计算包括：加减乘除

向量的取反

向量的正负，只影响方向，对向量取反，即逆转方向

向量和向量的计算

向量和向量的计算包括：加减

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，向量之间的计算实际上是向量的合成，以二维向量的计算为例，（2，1）+（1，3）=（3，4），实际上反应在图上是：

向量的长度

一个初始点为 （，，）（x1，y1，c1），终点为 （，，）（x2，y2，c2） 的向量，他的长度为 (a1−a2)2+(b1−b2)2+(c1−c2)2

向量的乘法

向量相乘，比较特殊的有点乘和叉乘

点乘，即向量的数乘结果乘以余弦值：

x1¯∗x2¯=||x¯1||∗||x¯2||∗cosθ

叉乘，是为了，在三维空间中，生成两个不平行向量的正交向量，正交简单理解即垂直。

C、D是两个不平行的向量，两者进行叉乘获得向量E，向量E正交与B、D

叉乘计算公式：

矩阵

矩阵就是一个矩形的数字、符号或表达式数组。矩阵中每一项叫做矩阵的元素(Element)。

一个2×2矩阵：

矩阵通过(i, j)进行索引，i是行，j是列

矩阵的计算

矩阵与标量的计算

即矩阵的每个元素对标量的计算，计算包括：加减乘除

矩阵与矩阵的计算

矩阵与矩阵之间的加减，即矩阵元素之间的加减，通常的矩阵加法被定义在两个相同大小的矩阵。

矩阵相乘需要遵循的规则：

1. 只有当左侧矩阵的列数与右侧矩阵的行数相等，两个矩阵才能相乘。
2. 矩阵相乘不遵守交换律，也就是说A⋅B≠B⋅A

矩阵的乘法是一系列乘法和加法组合的结果，它使用到了左侧矩阵的行和右侧矩阵的列，结果矩阵的第[1,1]元素：

a1∗b1+a2∗b4 即第一个矩阵的第一行 a1a2 乘以第二个矩阵的第一列 b1b4 ，同样第[1,2]，即即第一个矩阵的第一行 a1a2 乘以第二个矩阵的第二列 b2b5 ...

矩阵与向量

opengl里面定义的顶点坐标（0，0.5，0）是一个向量，它也是一个3*1的矩阵，形式如下：

所以矩阵与向量的计算，实际上是矩阵与N*1矩阵的计算，按照之前矩阵相乘的定义，这个计算矩阵应该是个1*M或者M*N的格式(我们常用的是M*N，实际上，是N *N)

缩放、位移与旋转

模型的位置和体积都是顶点与矩阵的相乘

缩放

对于顶点与矩阵的计算实现缩放，可以参考这个例子

顶点，即向量（0，0.5，0）乘的为单位矩阵，计算结果不变，如果单位矩阵乘以0.5，再与向量相乘，向量结果将缩小一倍，如下

同样，如果所有顶点坐标都与以上的矩阵相乘，那么模型体积就能缩小一倍，这就是缩放。

位移

要实现顶点的位移，就是让顶点向量统一增加某个数，看起来就像是：

实现方式：

基于单位矩阵

要移动 顶点x1y1z1的 x2y2z2 距离，就在单位矩阵最后一列的对应位置加上对应的距离。

这样定义的一个矩阵就是位移矩阵，有了位移矩阵我们就可以在3个方向(x、y、z)上移动物体，它是我们的变换工具箱中非常有用的一个变换矩阵。

旋转

向量的旋转，简单理解就是向量围绕一个轴，进行了 α 度的偏转，通常情况下是个三维空间，也就是旋转涉及x、y、z轴，与缩放、位移一样，需要乘以矩阵实现，因为涉及三个轴的旋转，所以不同的旋转需要乘以不同的矩阵，情况如下：

围绕x轴旋转pitch：α 度的偏转

围绕y轴旋转Yaw： α 度的偏转

围绕z轴旋转Roll： α 度的偏转

这里不解释这些矩阵是如何得到的，感兴趣的可以搜索下线性代数的相关知识，但是需要注意的是，以上实现的都是单次旋转，通常情况，需要多次旋转，比如先围绕x轴，再围绕y轴

这会导致万向节死锁问题，即当三个万向节其中两个的轴发生重合时，会失去一个自由度的情形。简单理解就是，当模型绕着x轴旋转90°后，它的z轴和y轴旋转就是同一个方向，产生了旋转死锁，采用矩阵旋转是无法避免万向节死锁问题，使用四元数可以避免，关于四元数是比较复杂的一种实现方式，作为入门，最好还是先理解矩阵，刚刚提到的万向节死锁问题，常常是因为将x、y、z轴多个旋转矩阵的多个步骤的复合导致的，当顶点 (x1,y1,z1) 需要旋转到某个位置，可以直接对照位置实现对应旋转轴 (xr,yr,zr) 的一次变换，实现方式如下：

矩阵的组合

采用矩阵实现缩放、位移和旋转，一个很重要的因素在于，矩阵可以实现组合，例如：

将顶点数据乘以上面组合后的矩阵，数据同时完成了放大两倍，平移（a,b,c）的位移。

 

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