背包九讲

考前两天，再看一下dd的背包九讲，巩固一下。（毕竟我DP实在是太弱了）

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01背包

模型

有\(N\)个物品，每个费用为\(V_i\)，价值为\(W_i\)，总钱数为\(C\)，求最大价值。

子状态

\(f[i][j]\)表示前\(i\)件总钱数为\(j\)情况下的最大价值。

朴素转移

朴素转移每一次讨论当前物品到底取不取。

状态转移方程为\(f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i])\)

空间优化

由于每一层的取值只需要依赖上一层的值，因此在实现的时候可以省略第一维。

但是这个时候原第二位的遍历需要采取倒叙，这样就可以保证我们遍历到\(f[j]\)的时候\(f[j-w[i]]\)里面保存的是原来\(f[i-1][j-w[i]]\)的值。

伪码实现

FOR i from 0 to C
    f[0][i]=0
FOR i from 1 to n 
    FOR j from Vi to C
        f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i])



FOR i from 0 to C
    f[i]=0
FOR i from 1 to n
    FOR j from C downto Vi
        f[j]=min(f[j],f[j-w[i]]+v[i])

细节

如果题目不要求背包要恰好装满，那么照常初始化。

但如果要求背包恰好装满，那么\(f[1]\)到\(f[C]\)都必须设为\(-INF\)（因为只有\(f[0]\)是刚好装满），而最后的答案为\(f[C]\)。

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完全背包

模型

有\(N\)种物品，每种都有无限个，其余同01背包。

子状态

考虑01背包的空间优化写法，我们发现，之所以不可以顺序写，是因为这样同样的一件物品可能会被取多次。

这恰好是完全背包问题所允许的。

因此完全背包问题采用顺序的写法。

子状态为\(f[i]\)，表示容量为\(i\)的背包最多能放多少个。

转移

上面说了

代码实现

FOR i from 0 to C
    f[i]=0
FOR i from 1 to n
    FOR j from Vi to C
        f[j]=min(f[j],f[j-w[i]]+v[i])