题解 HDU1565 【方格取数(1)】

给你一个n*n的格子的棋盘，每个格子里面有一个非负数。
从中取出若干个数，使得任意的两个数所在的格子没有公共边，就是说所取的数所在的2个格子不能相邻，并且取出的数的和最大。

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题目清晰明了，这道题应该用dp。

自然地想到$dp[i][j]$表示位置$(i, j)$的最大值，但是在状态转移的时候推不出来。

这是因为子状态缺少表示选择情况的维度，即：你不知道某一个特定的点有没有被取。

因此自然地想到$dp[i][j][s]$其中$s$储存着一个状态。

但是经过简单的计算就可以发现，时间复杂度过高，即便这道题有5000ms的时限都妥妥的TLE。

因此我们需要状态压缩。

所以想到了$dp[i][s]$其中$i$表示第$i$行，而$s$表示这一行的选择状态，用一个二进制数储存。（0为留下1为取走）

思考一下不难得出状态转移方程：

 dp[i][s1] = max(dp[i][s1], dp[i - 1][s2] + tmp); 

其中$tmp$为第$i$行在$s1$状态下的值，$dp$数组初始化也是一样的。

要注意，题目中说明了格子不能相邻，所以在预处理的时候可以凭此缩小枚举范围。（不缩小会炸）

大致思路就是这样了，具体的一下优化因人而异。有一个要注意的点就是杭电最近会出玄学结果，刚开始本蒟蒻开小了数组导致越界，结果结果是WA，害得调了很久才发现。

完整AC代码如下：（好像是495ms吧）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;

inline int read() {
    
}

const int maxn = 21;

int n;
int sq[maxn][maxn];
int top[maxn], ok[20000];

void init() {
    int tp = 0, co = 1;
    for(int i = 0; i < (1 << (maxn - 1)); i++) {
        if(!(i&(i<<1))) {
            ok[tp++] = i;
//            cout << i << endl;
        }
        if(i == (1 << co) - 1) top[co++] = tp;
    }
//    cout << top << endl;
    return ;
} 

int dp[maxn][20000];

int value(int line, int state) {
    int ans = 0, pos, t = 0;
    while(state) {
        pos = state % 2;
        if(pos == 1) ans += sq[line][t];
        t++;
        state /= 2;
    }
    return ans;
}

void dp_init() {
//    cout << top << endl;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int s = 0; s < top[n]; s++) {
            dp[i][s] = value(i, ok[s]);
//            cout << dp[i][s] << ' ';    
        }
//        cout << endl;
    }
    return ;
}

void solve() {
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        for(int s1 = 0; s1 < top[n]; s1++) {
            int tmp = dp[i][s1];
            for(int s2 = 0; s2 < top[n]; s2++) {
                if(!((ok[s1] | ok[s1] << 1 | ok[s1] >> 1) & ok[s2])) {
                    dp[i][s1] = max(dp[i][s1], dp[i - 1][s2] + tmp);
                }
            }
        }
    }
    return ;
} 

int main() {
    init();
//    for(int i = 1; i <= 20; i++) cout << top[i] << ' ';
//    cout << endl; 
    while(scanf("%d", &n) != EOF) {
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                scanf("%d", &sq[i][j]);
            }
        }
        dp_init();
        solve();
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < top[n]; i++) {
            ans = max(ans, dp[n - 1][i]);
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

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题外话：洛谷上好像有一道类似的紫题（网络流24题的），只不过不是正方形是长方形，而且实现也只有1000ms。