LuoguP4951 [USACO01OPEN]Earthquake

题面

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分析

假设我们最后选出的边集为\(S\)，显然，奶牛们可以获得的单位时间钱数就是\(\frac{f-\Sigma c_i}{\Sigma t_i} (i\in S)\)。这样的式子简直就是在暗示01分数规划。

设最大答案为\(ans\)，那么就有式子\(ans=\frac{f-\Sigma c_i}{\Sigma t_i} (i\in S)\)，对这个式子做变形得到

\[ans*\Sigma t_i=f-\Sigma c_i (i\in S) \]

进一步有

\[f=\Sigma c_i + ans*\Sigma t_i (i\in S) \]

将这个式子看为\(f\)关于\(ans\)的函数。易知这个函数有单调性。于是我们可以二分枚举\(ans\)的取值，再通过这个式子判断是否符合题意。

那么本题的下一个关键点就是如何判断\(ans\)的取值合法。根据我们对\(ans\)的定义，对于任意的边集\(K\)，都存在

\[\frac{f-\Sigma c_i}{\Sigma t_i}\leq ans (i\in K) \]

变形后即为

\[f\leq \Sigma c_i + ans*\Sigma t_i (i\in K) \]

这就是题目的限制条件。不难发现，不等式的右侧可以通过最小生成树解决。对于每一个\(ans\)，将边权赋值为\(c_i+ans*t_i\)，对整棵树进行最小生成树的流程。最后得出的树边权之和即为所求值。如果这个值小于\(f\)，就说明\(ans\)的取值不合法。反之同理。

代码

/*
By Nero Claudius Caeser Augustus Germanicus,
Imeratorum Romanorum.
*/
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace StandardIO{

	template<typename T>void read(T &x){
		x=0;T f=1;char c=getchar();
		for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
		for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) x=x*10+c-'0';
		x*=f;
	}

	template<typename T>void write(T x){
		if(x<0) putchar('-'),x*=-1;
		if(x>=10) write(x/10);
		putchar(x%10+'0');
	}

} using namespace StandardIO;

namespace Project{
	
	const int N=100000+100;
	
	int n,m,block;
	int a[N];
	struct node{
		int l,r,a,b,id;
	} ask[N];
	int l,r,res,cnt[N][2],c[N],ans[N][2];
	
	inline bool cmp(const node x,const node y){
		return (x.l/block!=y.l/block)?(x.l/block<y.l/block):(((x.l/block)&1)?x.r<y.r:x.r>y.r);
	}
#define lowbit(x) x&(-x)
	void update(int x,int v,int t){
		for(; x<=n; x+=lowbit(x)) cnt[x][t]+=v;
	}
	int query(int x,int t){
		int res=0;
		for(; x; x-=lowbit(x)) res+=cnt[x][t];
		return res;
	}
	void add(int x){
		x=a[x],++c[x];
		update(x,1,0);
		if(c[x]==1) update(x,1,1);
	}
	void del(int x){
		x=a[x],--c[x];
		update(x,-1,0);
		if(c[x]==0) update(x,-1,1);
	}

	void MAIN(){
		read(n),read(m),block=sqrt(n);
		for(int i=1; i<=n; ++i){
			read(a[i]);
		}
		for(int i=1; i<=m; ++i){
			read(ask[i].l),read(ask[i].r),read(ask[i].a),read(ask[i].b),ask[i].id=i;
		}
		sort(ask+1,ask+m+1,cmp);
		l=1,r=0;
		for(int i=1; i<=m; ++i){
			while(l>ask[i].l) add(--l);
			while(r<ask[i].r) add(++r);
			while(l<ask[i].l) del(l++);
			while(r>ask[i].r) del(r--);
			ans[ask[i].id][0]=query(ask[i].b,0)-query(ask[i].a-1,0);
			ans[ask[i].id][1]=query(ask[i].b,1)-query(ask[i].a-1,1);
		}
		for(int i=1; i<=m; ++i){
			write(ans[i][0]),putchar(' '),write(ans[i][1]),puts("");
		}
	}
	
}

int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	Project::MAIN();
}