LuoguP3246 [HNOI2016]序列

题面

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分析

看到离线区间查询不难想到莫队，则重点在于不同区间之间的转移。

考虑区间\([l,r]\)向区间\([l,r+1]\)的转移。多处的部分应该是\([l,r+1],[l+1,r+1]...[r+1,r+1]\)，算出这一部分的贡献即可。设\([l,r]\)的最小值点为\(p\)，那么左端点在\([l,p]\)中的所有区间贡献均为\(a[p]\)。显然这个值可以使用rmq算法预处理。

现在算左端点在\([p+1,r]\)中的贡献。我们采取一种划分的思路，把这个区间划分为很多个小区间，每个区间在保证其最大值为右端点的前提下尽量长。换言之，设\(pre[i]\)为第一个在\(i\)左侧且小于之的数的位置，那么原区间就会被拆成\([pre_r,j],[pre_{pre_r},pre_r]...\)，对于其中每一段，其贡献都是右端点乘以区间长度。

进一步，设\(f[l][r]\)表示左端点在\([l,r]\)中，右端点为\(r\)的所有区间的贡献之和，那么有\(f[l][r]=f[l][pre_r]+a_r*(r-pre_r)\)。不难发现，\(pre\)数组可以通过单调栈求出，而\(f\)可以省去第一维度并且预处理的。

那么答案的增量就是左侧与右侧之和，也就是\(a[p]*(p-l+1)+f[l][r]-f[l][p]\)。

另外的转移同理。

代码

/*
By Nero Claudius Caeser Augustus Germanicus,
Imperatorum Romanorum.
*/
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace StandardIO{

	template<typename T>void read(T &x){
		x=0;T f=1;char c=getchar();
		for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
		for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) x=x*10+c-'0';
		x*=f;
	}

	template<typename T>void write(T x){
		if(x<0) putchar('-'),x*=-1;
		if(x>=10) write(x/10);
		putchar(x%10+'0');
	}

} using namespace StandardIO;

namespace Project{
	#define int long long
	const int N=100000+100;
	
	int n,q,block;
	int a[N];
	struct node{
		int l,r,id;
	} ask[N];
	int top,sta[N],pre[N],suf[N],f1[N],f2[N];
	int logg[N],st[N][30],g[N][30];
	int l,r,res,ans[N];
	
	void init(){
		for(int i=1; i<=n; ++i) st[i][0]=a[i],g[i][0]=i,logg[i]=(i==1)?0:logg[i>>1]+1;
		for(int j=1; (1<<j)<=n; ++j){
			for(int i=1; i+(1<<j)-1<=n; ++i){
				st[i][j]=min(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
				g[i][j]=st[i][j-1]<st[i+(1<<(j-1))][j-1]?g[i][j-1]:g[i+(1<<(j-1))][j-1];
			}
		}
	}
	int query(int l,int r){
		int x=logg[r-l+1];
		return st[l][x]<st[r-(1<<x)+1][x]?g[l][x]:g[r-(1<<x)+1][x];
	}
	bool cmp(const node x,const node y){
		return (x.l/block!=y.l/block)?(x.l/block<y.l/block):(((x.l/block)&1)?(x.r<y.r):(x.r>y.r));
	}
	int pr(){
		int p=query(l,r);
		return f1[r]-f1[p]+a[p]*(p-l+1);
	}
	int su(){
		int p=query(l,r);
		return f2[l]-f2[p]+a[p]*(r-p+1);
	}
	
	void MAIN(){
		read(n),read(q),block=sqrt(q);
		for(int i=1; i<=n; ++i) read(a[i]);
		init();
		for(int i=1; i<=n; ++i){
			while(a[sta[top]]>a[i]&&top) suf[sta[top--]]=i;
			pre[i]=sta[top],sta[++top]=i;
		}
		while(top){
			pre[sta[top]]=sta[top-1],suf[sta[top--]]=n+1;
		}
		for(int i=1; i<=n; ++i) f1[i]=f1[pre[i]]+a[i]*(i-pre[i]);
		for(int i=n; i>=1; --i) f2[i]=f2[suf[i]]+a[i]*(suf[i]-i);
		for(int i=1; i<=q; ++i){
			read(ask[i].l),read(ask[i].r),ask[i].id=i; 
		}
		sort(ask+1,ask+q+1,cmp);
		l=1,r=0;
		for(int i=1; i<=q; ++i){
			while(l>ask[i].l) --l,res+=su();
			while(r<ask[i].r) ++r,res+=pr();
			while(l<ask[i].l) res-=su(),++l;
			while(r>ask[i].r) res-=pr(),--r;
			ans[ask[i].id]=res;
		}
		for(int i=1; i<=q; ++i){
			write(ans[i]),puts("");
		}
	}
	#undef int
}

int main(){ 
	Project::MAIN();
}