调整队形「TJOI2007」

题意

给定一个初始的序列以及四种操作，问最少操作多少次可以是序列变为回文序列。

操作如下：

1. 在队伍左侧或右侧添加一个数

2. 在队伍中插入一个数

3. 删除一个数

4. 改变一个数的值

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思路

看到给定的序列和改数的操作（其实还是因为询问是最少操作次数），可以想到区间dp。

设子状态\(dp[i][j]\)表示将区间\([i,j]\)变为回文序列的最少操作次数。

由于是区间dp，所以2号操作等价于1号操作，而3号操作等价于删除左侧或右侧的数。

有一个简单的性质：1号操作和3号操作也是等价的。

这个正确性不难证明：由于添加数和删除数都是为了将没有配对的数配对，所以在效果上是完全一样的。

于是我们只用考虑两种操作：

1. 添加/删除数

2. 改变数值

对于第一种操作，状态转移方程为

\[f[i][j]=min(f[i][j],min(f[i+1][j],f[i][j-1])+1) \]

对于第二种操作，状态转移方程为

\[f[i][j]=min(f[i][j],f[i+1][j-1]+1) \]

注意当左右端点值相等的时候需要特判长度，长度不为2则初始化去掉两端点，若为2则初始化为0。（最后这个点坑了我10分）

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace StandardIO {

	template<typename T>inline void read (T &x) {
		x=0;T f=1;char c=getchar();
		for (; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
		for (; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) x=x*10+c-'0';
		x*=f;
	}

	template<typename T>inline void write (T x) {
		if (x<0) putchar('-'),x*=-1;
		if (x>=10) write(x/10);
		putchar(x%10+'0');
	}

}

using namespace StandardIO;

namespace Project {
	
	const int N=3030;
	
	int n;
	int a[N];
	int dp[N][N];

	inline void MAIN () {
		read(n);
		memset(dp,127,sizeof(dp));
		for (register int i=1; i<=n; ++i) {
			read(a[i]),dp[i][i]=0;
		}
		for (register int len=2; len<=n; ++len) {
			for (register int l=1,r; l+len-1<=n; ++l) {
				r=l+len-1;
				if (a[l]==a[r]&&l+1<=r-1) dp[l][r]=dp[l+1][r-1];
				if (a[l]==a[r]&&len==2) dp[l][r]=0;
				dp[l][r]=min(dp[l][r],min(dp[l][r-1],dp[l+1][r])+1);
				dp[l][r]=min(dp[l][r],dp[l+1][r-1]+1);
			}
		}
		write(dp[1][n]);
	}
	
}

int main () {
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	Project::MAIN();
}