小星星「ZJOI2016」

题意

给定一个图，以及一颗树。求将树上的节点重新编号后，能够被图覆盖的种类数？节点个数≤17。

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思路

考虑朴素的树上dp。

设子状态为\(dp[i][j][s]\)，表示节点i的编号为j，包含子树所构成的点集为s的种类数。

转移的时间复杂度为\(O(n3^n)\)，完美被卡。

考虑题目给出的限制条件：

1. 一个节点只能被编一次号。

2. 树上每一条边都必须在原图中出现。

如果没有第一个限制，那么我们就可以消掉第三维，转移方程如下：$$dp[i][j]=\Pi_{k\in subtree} \sum_{t=1}^n dp[k][t]$$

在此基础上，我们再考虑第一个限制条件。

当一个节点被重复编号时，肯定会有其他的节点没有被编号，那么我们可以每次枚举哪些点没有被编号。

最后统计答案的时候0个没有-1个没有+2个没有-。。。

总共的时间复杂度是\(O(n2^n)\)，刚好跑过。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace StandardIO {

	template<typename T>inline void read (T &x) {
		x=0;T f=1;char c=getchar();
		for (; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
		for (; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) x=x*10+c-'0';
		x*=f;
	}

	template<typename T>inline void write (T x) {
		if (x<0) putchar('-'),x*=-1;
		if (x>=10) write(x/10);
		putchar(x%10+'0');
	}

}

using namespace StandardIO;

namespace Project {
	#define int long long
	
	const int N=20;
	
	int n,m,ans;
	int cnt;
	int head[N];
	struct node {
		int from,to,next;
	} edge[N<<1];
	int G[N][N];
	int left[N],dp[N][N];
	
	inline int count (int x) {
		int res=0;
		while (x) {
			if (x&1) ++res;
			x>>=1;
		}
		return res;
	}
	inline void add (int a,int b) {
		edge[++cnt].from=a,edge[cnt].to=b,edge[cnt].next=head[a],head[a]=cnt;
	}
	void dfs (int now,int fa) {
		for (register int i=1; i<=n; ++i) {
			if (left[i]) dp[now][i]=0;
			else dp[now][i]=1;
		}
		for (register int i=head[now]; i; i=edge[i].next) {
			int to=edge[i].to;
			if (to==fa) continue;
			dfs(to,now);
			for (register int j=1; j<=n; ++j) {
				if (left[j]) continue;
				int tmp=0;
				for (register int k=1; k<=n; ++k) {
					if (G[j][k]&&!left[k]) tmp+=dp[to][k];
				}
				dp[now][j]*=tmp;
			}
		}
	}
	
	inline void MAIN () {
		read(n),read(m);
		for (register int i=1; i<=m; ++i) {
			int x,y;read(x),read(y);
			G[x][y]=G[y][x]=1;
		}
		for (register int i=1; i<n; ++i) {
			int x,y;read(x),read(y);
			add(x,y),add(y,x);
		}
		for (register int s=0; s<(1<<n); ++s) {
			for (register int i=0; i<n; ++i) {
				left[i+1]=s&(1<<i);
			}
			dfs(1,1);
			int tmp=0;
			for (register int i=1; i<=n; ++i) {
				tmp+=dp[1][i];
			}
			if (count(s)%2==0) ans+=tmp;
			else ans-=tmp;
		}
		write(ans);
	}
	
	#undef int
}

int main () {
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	Project::MAIN();
}