背包问题

简介

背包问题是一类动态规划问题的统称，分有多种子类型。

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01背包

给定\(n\)个物品，每个物品都有自己的价值\(v_i\)和重量\(w_i\)。现有一个容量为\(W\)的背包，求最大价值。

很容易想到每种物品只有选或者不选，那么依次枚举即可。

考虑到还需要判断能否装下这些物品，所以还需要在转移的时候维护剩余容量。

因此设子状态\(f[i][j]\)为当前在第\(i\)个物品处，包括\(i\)在内已经选了重量为\(j\)的物品的最大价值。

状态转移方程为\(f[i][j]=max(f[i-1][j-v_i]+w[i],f[i-1][j])\)

此时的空间复杂度为\(O(NM)\)，可以通过滚动数组优化到\(O(M)\)。

事实上，还可以进行进一步优化：

由于每一层\(i\)之间是互相独立的（也就是说\(f[i][j]\)不会被\(f[i][k]\)更新），所以我们可以优化掉第一维，但是此时需要修改第二维的枚举顺序。

根据状态转移方程可知，第二维大的状态是由第二维小的状态转移来的，由于我们优化掉了第一维，所以必须先遍历第二维大的状态，否则将会出现覆盖的情况。

所以第一维遍历仍然顺序，第二维遍历须改为逆序。

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完全背包

条件和01背包一致，但是每种物品都有无限个。

子状态与上一题一致，但是转移过程有不同。

我们将上一题中第二维的遍历顺序改为顺序即可解决完全背包问题。

改为顺序后，即会出现同层之间互相转移的情况，也就是实现了每个物品可以无限选取的题设。

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多重背包

条件与01背包一致，但是每种物品都有\(c_i\)个。

朴素的思路是将每种物品拆开，转换为01背包进行求解，时间复杂度为\(O(m\sum c_i)\)。

更为优秀的思路是将每种物品个数量按照二进制拆开。

对于物品\(i\)，把它拆成重量为\(2^0*v_i,2^1*v_i,...,2^p*v[i],r_i*v_i\)的物品，显然\([1*v_i,c_i*v_i]\)中的所有重量都能被组合出来。

这样的时间复杂度为\(O(mlogc_i)\)。

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分组背包

有\(n\)组，每组都有\(m\)个物品，每组最多选一个，求最大价值。

子状态\(f[i][j]\)表示选到了第\(i\)组，总重量为\(j\)的最大价值。

\(f[i][j]=max(f[i-1][j],max(f[i-1][j-v_{ik}]+w_{ik}))\)

可以像01背包一样优化掉第一维。