王的序列问题

题意

给定一个数列，求\(\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=i}(j-i+1)min(a_i,...,a_j)max(a_i,...,a_j)\)。

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思路

采用CDQ分治解决问题。

对于当前的区间\([l,r]\)，如果为点直接更新答案。

否则可以分成左右区间\([l,mid],[mid+1,r]\)

枚举左侧区间中的每一个点作为左端点\(ptr_l\)，计算右端点在右侧区间的贡献。

设\([ptr_l,mid]\)中最小值为\(mn\)，最大值为\(mx\)。

我们枚举出对于\([mid+1,r]\)，\(mn,mx\)从\(mid+1\)开始的最大有效范围，不妨设为\(x,y\)。

假设\(x\leq y\)，

那么\([mid+1,r]\)被划分为三个区间\([mid+1,x],[x+1,y],[y+1,r]\)

对于\([mid+1,x]\)，答案应该更新\(mn*mx*\sum^x_{i=mid+1}(i-ptr_l+1)\)。这显然可以通过等差数列求和公式\(O(1)\)求解。

对于\([x+1,y]\)，答案应该更新\(mx*\sum^y_{i=x+1}min(x+1,i)(i-ptr_l+1)\)，即\(mx*\sum^y_{i=x+1}min(x+1,i)*i-min(x+1,i)*(ptr_l-1)\)，我们可以通过维护前缀和来解决。

对于\([y+1,r]\)，答案应该更新\(\sum^r_{i=y+1}min(y+1,r)max(y+1,r)(i-ptr_l+1)\)，同理可化为类似上面的结构。

对于\(y<x\)的情况，也可分为如上三类。

总共我们需要维护六个前缀和，最后注意取模问题即可。

代码

等会再贴上来。