序列分割「APIO 2014」

题意

给定一个序列，进行\(k\)次操作，每次操作将会分割序列。

对于每次操作，可以选择将任意一个区间在任意点分割开，得到左侧和乘以右侧和的收益。

求收益最大值。

---

思路

子状态\(f[i][k]\)表示前\(i\)个数割\(k\)次最大收益。

推出方程为\(f[i][k]=max(f[j][k-1]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]))\)

滚动一下可以去掉一维。

假设有决策点\(x,y\)且\(x\)优于\(y\)，那么可以化简得到\(\frac{f[x]-sum[x]^2-f[y]+sum[y]^2}{sum[y]-sum[x]}>sum[i]\)。斜率优化套一下即可。

//注意本题会有\(sum[x]==sum[y]\)的情况

\(end\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace StandardIO {

	template<typename T>inline void read (T &x) {
		x=0;T f=1;char c=getchar();
		for (; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
		for (; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) x=x*10+c-'0';
		x*=f;
	}

	template<typename T>inline void write (T x) {
		if (x<0) putchar('-'),x*=-1;
		if (x>=10) write(x/10);
		putchar(x%10+'0');
	}

}

using namespace StandardIO;

namespace Project {
	#define int long long
	
	const int N=100010;
	
	int n,k;
	int head,tail;
	int sum[N],dp[N],dp2[N],queue[N];//,pre[N][205];
	
	inline double slope (int x,int y) {
		if (sum[x]==sum[y]) return -1e18;
		return (double)(dp2[x]-sum[x]*sum[x]-dp2[y]+sum[y]*sum[y])/(double)(sum[y]-sum[x]);
	}

	inline void MAIN () {
		read(n),read(k);
		for (register int i=1; i<=n; ++i) {
			read(sum[i]),sum[i]+=sum[i-1];
		}
		for (register int t=1; t<=k; ++t) {
			head=tail=1,queue[head]=0;
			for (register int i=1; i<=n; ++i) {
				while (head<tail&&slope(queue[head],queue[head+1])<=sum[i]) ++head;
				dp[i]=dp2[queue[head]]+sum[queue[head]]*(sum[i]-sum[queue[head]]);
//				pre[i][t]=queue[head];
				while (head<tail&&slope(queue[tail-1],queue[tail])>=slope(queue[tail],i)) --tail;
				queue[++tail]=i;	
			}
			memcpy(dp2,dp,sizeof(dp));	
		}
		write(dp[n]),putchar('\n');
//		for (register int x=n,i=k; i>=1; --i) x=pre[x][i],write(x),putchar(' ');
	}
	
	#undef int
}

int main () {
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	Project::MAIN();
}