特别行动队「APIO 2010」

题意

有一个序列，要求将其分为任意部分。对于每一部分，其值为\(at^2+bt+c\)，其中\(t\)为这一部分元素总和，\(a,b,c\)给定。

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思路

容易推出状态转移方程为\(f[i]=min(f[j]+a*(sum[i]-sum[j])^2+b*(sum[i]-sum[j])+c)\)

朴素转移的时间复杂度为\(n^2\)，考虑斜率优化。

假设对于决策点\(x,y\)，存在\(f[x]+a*(sum[i]-sum[x])^2+b*(sum[i]-sum[x])+c>f[y]+a*(sum[i]-sum[y])^2+b*(sum[i]-sum[y])+c\)

可化简为\(f[x]+a*sum[x]^2-b*sum[x]-2*sum[i]*sum[x]>f[y]+a*sum[y]^2-b*sum[y]-2*sum[i]*sum[y]\)

即\(\frac{f[x]+a*sum[x]^2-b*sum[x]-(f[y]+a*sum[y]^2-b*sum[y])}{sum[x]-sum[y]}>2*sum[i]\)

\(end\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace StandardIO {

	template<typename T>inline void read (T &x) {
		x=0;T f=1;char c=getchar();
		for (; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
		for (; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) x=x*10+c-'0';
		x*=f;
	}

	template<typename T>inline void write (T x) {
		if (x<0) putchar('-'),x*=-1;
		if (x>=10) write(x/10);
		putchar(x%10+'0');
	}

}

using namespace StandardIO;

namespace Project {
	#define int long long
	
	const int N=1000010;
	
	int n;
	int a,b,c,head,tail;
	int sum[N],dp[N],queue[N];
	
	inline double slope (int x,int y) {
		return (double)(dp[y]+a*sum[y]*sum[y]-b*sum[y]-dp[x]-a*sum[x]*sum[x]+b*sum[x])/(double)(sum[y]-sum[x]);
	}
	inline int f (int x) {
		return a*x*x+b*x+c;
	}

	inline void MAIN () {
		read(n);
		read(a),read(b),read(c);
		for (register int i=1; i<=n; ++i) {
			read(sum[i]),sum[i]+=sum[i-1];
		}
		head=tail=1,queue[head]=0;
		for (register int i=1; i<=n; ++i) {
			while (head<tail&&slope(queue[head],queue[head+1])>=2*a*sum[i]) ++head;
			dp[i]=dp[queue[head]]+f(sum[i]-sum[queue[head]]);
			while (head<tail&&slope(queue[tail-1],queue[tail])<=slope(queue[tail],i)) --tail;
			queue[++tail]=i;
		}
		write(dp[n]);
	}
	
	#undef int
}

int main () {
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	Project::MAIN();
}