莫比乌斯反演学习小结（未完待续）
莫比乌斯反演
基础公式
\[F(n)=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)=\sum_{d|n}F(d)μ(\frac{n}{d})
\]
一般使用的公式
\[[gcd(i,j)=1]=\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)\\\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\\---------------------
\]
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=x]=\sum_{d=1}^{min({\lfloor\frac{n}{x}\rfloor},{\lfloor\frac{m}{x}\rfloor})}{\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{dx}\rfloor}
\]
例子
1.
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=k]\ \ \ \ (n<m)\\\Downarrow \\=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}[gcd(i,j)=1]
\]
2.
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=1]\ \ \ \ (n<m)\\\Downarrow\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)
\]
