集合学习总结
集合
集合的含义和注意事项
- 一般的，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
- 一个给定集合中的元素是互不相同的。
- 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
元素和集合的关系
- 如果\(a\)是集合\(A\)的元素，就说\(a\)属于集合\(A\)，记作\(a\in A\);
- 如果\(a\)不是集合\(A\)中的元素，就说\(a\)不属于集合\(A\)，记作\(a\notin A\).
集合的基本关系
1.子集
一般的，对于两个集合\(A\)，\(B\)，如果集合A中任何一个元素都是集合\(B\)的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合\(A\)为集合\(B\)的子集，记作
\[A \subseteq B(或B\supseteq A)
\]
2.相等
一般的，如果\(A\)是\(B\)的子集且\(B\)是的子集，此时，集合\(A\)和集合\(B\)中的元素是一样的，因此，集合\(A\)和集合\(B\)相等，记作：
\[A=B
\]
3.真子集
一般的，如果集合$A \subseteq B $ ,但存在元素\(x\in B\)且\(x\notin A\),我们称集合\(A\)是集合\(B\)的真子集，记作
\[A\subsetneqq B(或B\supsetneqq A)
\]
4.空子集
一般的，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为\(\varnothing\) 。并规定：空集是任何集合的子集
集合的基本关系
并集
一般的，由所有属于集合\(A\)或属于集合\(B\)的元素组成的集合，称为集合\(A\)与\(B\)的并集，记作\(A\cup B\),即
\[A\cup B= \{x|x\in A,或x\in B\},
\]
交集
一般的，由属于集合\(A\)且属于集合\(B\)的所有元素的组成的集合，称为\(A\)与\(B\)的交集，记作\(A\cap B\)，即
\[A\cap B=\{x|x\in a且x\in B\}
\]
补集
一般的，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作\(U\).
对于一个集合A，由全集\(U\)中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集\(U\)的补集，简称为集合\(A\)的补集，记作\({\complement_U A}\),即
\[{\complement_U A=\{x|x\in U,且x\notin A\}}
\]
常见数集的符号
| 数集 | 符号 | 数集 | 符号 |
|---|---|---|---|
| 自然数集 | \(N\) | 有理数集 | \(Q\) |
| 正整数集 | \(N_+\)或\(N^*\) | 实数集 | \(R\) |
| 整数集 | \(Z\) | 复数集 | \(C\) |
