[ABC342D] Square Pair 题解

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题意

给出一个数列 $A$，求出满足 $A_i{A}_j$ 为完全平方数的无序数对 $(i,j)$ 的个数。

分析

容易想到（但是我在昨晚没想到，可以原地 AFO 了），对于每个数，如果是 $0$ 的话可以直接统计答案（记录 $0$ 的个数 $cnt$，最后 $ans\leftarrow ans+cnt(n-cnt)+\frac{cnt(cnt-1)}{2}$ 即可）。如果不是 $0$ 的话就把 $A_i$ 中最大的平方数因子除掉，留下没法开方的那一部分。如果剩下的和其他数相同，那么相乘肯定也是平方数。

证明一下这个很显然的结论：令 $A=a\sqrt{r},B=b\sqrt{r}$，且其为最简形式，那么 $A\times B$ 一定是个平方数。

具体怎么统计看代码。时间复杂度 $O(n\sqrt{A_{max}})$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 200005
using namespace std;
int n, ans, x, k, cnt, num[N];
 
inline int read(int &x) {
	char ch = x = 0;
	int m = 1;
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		ch = getchar();
		if (ch == '-') m *= -1;
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48;
		ch = getchar();
	}
	x *= m;
	return x;
}
 
signed main() {
	read(n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		read(x);
		if (x == 0) {
			cnt++;
			continue;
		}
		for (int j = sqrt(x) + 1; j; j--) {
			if (x % (j * j) == 0) { //把最大的平方数因子找出来
				k = j;
				break;
			}
		}
		x /= k * k; //然后除掉，留下开不尽的
		ans += num[x]; //如果有可以结合的，计入答案
		num[x]++; //更新 num
	}
	ans += cnt * (n - cnt) + cnt * (cnt - 1) / 2; //把 0 也要计入答案
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}