闵可夫斯基和学习笔记

闵可夫斯基和

给定两个向量空间 $A$ 和 $B$ ，则闵可夫斯基和 $A + B = a + b, a \in A, b \in B$ 。当 $A$ 和 $B$ 都是凸包时，他们的闵可夫斯基和也是凸包。
考虑当 $A$ 的轮廓是凸函数 $(i, f_{i})$ ， $B$ 的轮廓是凸函数 $(j, g_{j})$ 时， $A + B$ 的轮廓就是 $(k, max_{i + j = k} f_{i} + g_{j})$ 。这也说明了为什么这里的 $max / min$ 加法卷积能保持函数的凸性。
当 $f$ 和 $g$ 都是凸函数时，他们的 $min$ 加法卷积 $h_{k} = min_{i + j = k} f_{i} + g_{j}$ 有如下的快速计算方式：
考虑对 $f$ 和 $g$ 做差分，有 $a_{i} = f_{i} - f_{i - 1}$ 和 $b_{i} = g_{i} - g_{i - 1}$ 。那么 $h_{k}$ 本质上就是取 $a$ 的一个前缀的 $b$ 的一个前缀，使得取得的元素个数为 $k$ 且元素和最小。因为 $a$ 和 $b$ 递增，因此本质上就是对 $a$ 和 $b$ 两个数组进行归并排序， $h_{k}$ 就是前 $k$ 个元素的和。也就是说，卷积后函数的斜率，等于卷积前两个函数的斜率做归并排序，这让我们可以快速对凸函数完成卷积转移。

2023ICPC 亚洲南京站 D
这道题和使用 Slope trick 的烟火表演很像但不一样，因为 $i$ 和 $f a [i]$ 之间的距离 $l \in {0, 1}$ ，所以 DP 函数右侧的拐点个数不等于儿子个数，无法直接维护最小值区间。
先列出 DP 方程，设 $f (u, x)$ 表示以 $u$ 为根的子树满足红黑树性质，且从 $u$ 到任意后代叶子结点路径上都有 $x$ 个黑色点需要的最少修改次数， $g (u, 0 / 1)$ 是让节点 $u$ 变红/黑的代价。于是有了一个 naive 的方程：

f (u, x) = min_{i \in {0, 1}} (g (u, i) + \sum_{v \in s o n (u)} f (v, x - i))

可以证明 $f (u, x)$ 关于 $x$ 是凸的，因为 $g (u, 0 / 1)$ 是凸的（仅有两个点），两个凸序列的 $min$ 加法卷积的结果还是凸的。
我们像烟火表演中那样维护差分数组。由于 $f (u, x)$ 中的 $x$ 的取值范围是子树深度的 $min$ ，因此 $\sum$ 部分可以直接把子树合并起来，复杂度是 $O (n)$ 的（可以用长链剖分证明）。而 $g$ 的差分是 $\pm 1$ ，因此我们还需要支持往差分数组里插入 $1$ 或者 $- 1$ ，并维持数组的单调性，这一步就对应了我们快速维护闵可夫斯基和转移。
可以使用两个 vector，一个 vector 存所有负数，一个存所有整数，再开一个变量表示有几个 $0$ 。这时插入 $1$ 就是在正数 vector 的开头插入，插入 $- 1$ 就是往负数 vector 的末尾插入。 $u$ 的答案就是 $f (u, 0)$ 加上差分数组的最小前缀和，也就是负数 vector 的元素之和。这样做复杂度是 $O (n)$ 的。