CF1928C Physical Education Lesson 题解

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题意

• 一种上下波动的数组，给出所在的位置 $n$ 和对应的数字 $x$，求出有几种数组满足条件。令 $k$ 为最大值，则数组长成这样子：

$$1,2,3,\cdots ,k-1,k,k-1,k-2,\cdots ,2,1,2,3,\cdots$$

• 如图，每 $2(k-1)$ 就循环一次。

分析

• 因为每 $2(k-1)$ 个数就循环一次，因此可以列出同余方程 $n\equiv x(\mathrm{mod}2(k-1))$，若 $x\ne 1$，则还可以列出 $n\equiv 2k-x(\mathrm{mod}2(k-1))$，可以化成 $n\equiv 2-x(\mathrm{mod}2(k-1))$。

• 因此问题就转化成了怎么求解 $a\equiv b(\mathrm{mod}x)$ 中的 $x$。转化一下得 $a-b\equiv 0(\mathrm{mod}x)$，也即 $x\mid a-b$，因此答案就是 $a-b$ 的偶数约数个数。复杂度 $O(\sqrt{n})$。

• 注意事项：如果 $k=x$ 时成立的话，在两个式子里都会被统计一次，因此要注意判重。

AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf 1e9
using namespace std;
int x, n;
 
inline int read(int &x) {
	char ch = x = 0;
	int m = 1;
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		ch = getchar();
		if (ch == '-')
			m *= -1;
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48;
		ch = getchar();
	}
	x *= m;
	return x;
}
 
inline void print(int x) {
	if (x < 0)
		putchar('-'), x = -x;
	static int stk[50];
	int top = 0;
	do {
		stk[top++] = x % 10;
		x /= 10;
	} while (x);
	while (top) {
		putchar(stk[--top] + 48);
	}
	putchar('\n');
	return ;
}
 
inline bool check(int i, int b, int x) {
	return !(i & 1) && i > 2 && (i / 2 + 1) >= x && !(b != x && (i / 2 + 1) == x); //注意判重
}
 
inline int work(int a, int b, int x) {
	int m = a - b, res = 0;
	for (int i = 1; i * i <= m; i++) {
		if (m % i == 0) {
			if (check(i, b, x)) res++;
			if (check(m / i, b, x)) res++; //记录答案
		}
	}
	return res;
}
 
signed main() {
	int T;
	read(T);
	while (T--) {
		read(n), read(x);
		int res = work(n, x, x);
		if (x != 1) res += work(n, 2 - x, x); //x 不等于 1 时有另一种可能
		if (!((n - x) & 1) && x <= 2) res++; //k=2的方案
		print(res);
	}
	return 0;
}

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