CF1928C Physical Education Lesson 题解

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题意

• 一种上下波动的数组，给出所在的位置 \(n\) 和对应的数字 \(x\)，求出有几种数组满足条件。令 \(k\) 为最大值，则数组长成这样子：

\[1,2,3,\cdots,k-1,k,k-1,k-2,\cdots,2,1,2,3,\cdots \]

• 如图，每 \(2(k-1)\) 就循环一次。

分析

• 因为每 \(2(k-1)\) 个数就循环一次，因此可以列出同余方程 \(n\equiv x\pmod{2(k-1)}\)，若 \(x\neq1\)，则还可以列出 \(n\equiv2k-x\pmod{2(k-1)}\)，可以化成 \(n\equiv2-x\pmod{2(k-1)}\)。

• 因此问题就转化成了怎么求解 \(a\equiv b\pmod x\) 中的 \(x\)。转化一下得 \(a-b\equiv0\pmod x\)，也即 \(x\mid a-b\)，因此答案就是 \(a-b\) 的偶数约数个数。复杂度 \(O(\sqrt n)\)。

• 注意事项：如果 \(k=x\) 时成立的话，在两个式子里都会被统计一次，因此要注意判重。

AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf 1e9
using namespace std;
int x, n;

inline int read(int &x) {
	char ch = x = 0;
	int m = 1;
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		ch = getchar();
		if (ch == '-')
			m *= -1;
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48;
		ch = getchar();
	}
	x *= m;
	return x;
}

inline void print(int x) {
	if (x < 0)
		putchar('-'), x = -x;
	static int stk[50];
	int top = 0;
	do {
		stk[top++] = x % 10;
		x /= 10;
	} while (x);
	while (top) {
		putchar(stk[--top] + 48);
	}
	putchar('\n');
	return ;
}

inline bool check(int i, int b, int x) {
	return !(i & 1) && i > 2 && (i / 2 + 1) >= x && !(b != x && (i / 2 + 1) == x); //注意判重
}

inline int work(int a, int b, int x) {
	int m = a - b, res = 0;
	for (int i = 1; i * i <= m; i++) {
		if (m % i == 0) {
			if (check(i, b, x)) res++;
			if (check(m / i, b, x)) res++; //记录答案
		}
	}
	return res;
}

signed main() {
	int T;
	read(T);
	while (T--) {
		read(n), read(x);
		int res = work(n, x, x);
		if (x != 1) res += work(n, 2 - x, x); //x 不等于 1 时有另一种可能
		if (!((n - x) & 1) && x <= 2) res++; //k=2的方案
		print(res);
	}
	return 0;
}

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