CF1477A Nezzar and Board 题解

题意

• 给出数列 \(S=\{a_i\}\) 和整数 \(k\)，求是否能通过下面的操作使得 \(k\in S\)？
• 操作：选取 \(x,y\in S\)，将 \(2x-y\) 加入 \(S\) 中。

分析

• 观察操作可以发现，\(2x-y\) 实际上就是数轴上 \(y\) 关于 \(x\) 的对称点，因此这个操作只与 \(x\) 和 \(y\) 在数轴上的相对位置有关，与具体位置（具体数值）无关。继续观察可以发现，如果 \(0\in S\)，那么就会有几个很好的性质：

1. 若 \(x\in S\)，那么 \(n\cdot x\in S,n\in\mathbb{Z}\)。
2. 若 \(x,y\in S\)，那么 \(x+y\in S\)。

• 为了可以利用这两条性质，我们可以将 \(S\) 变化为 \(S'=\{a_i-a_1\}\)，并把 \(k\) 减去 \(a_1\)（就相当于将数轴平移了）。此时 \(0\in S'\)，因此在无限次进行操作之后，得到的就是 \(S'\) 的整线性组合 \(S''=\{x|x=m\cdot\gcd(a_2,a_3,\cdots,a_n),m\in\mathbb{Z}\}\)，判断 \(k\in S''\) 即判断 \(\gcd(a_2,a_3,\cdots,a_n)\mid k\)，直接求解即可。

AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 200005
using namespace std;
int n, k, a[N];

inline int read(int &x) {
	char ch = x = 0;
	int m = 1;
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		ch = getchar();
		if (ch == '-') m *= -1;
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48;
		ch = getchar();
	}
	x *= m;
	return x;
}

int gcd(int x, int y) {
	if (y == 0) return x;
	return gcd(y, x % y);
}

signed main() {
	int T;
	read(T);
	while (T--) {
		read(n), read(k);
		for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
		sort(a + 1, a + 1 + n);
		for (int i = 2; i <= n; i++) a[i] -= a[1]; //平移数轴
		k -= a[1];
		if (k == 0) { //避免取余 k
			printf("YES\n");
			continue;
		}
		a[1] = 0;
		int g = a[2];
		for (int i = 3; i <= n; i++) g = gcd(g, a[i]); //求解 gcd
		if (k % g) printf("NO\n");
		else printf("YES\n");
	}
	return 0;
}