CF1477A Nezzar and Board 题解

题意

• 给出数列 $S=\{a_i\}$ 和整数 $k$，求是否能通过下面的操作使得 $k\in S$？
• 操作：选取 $x,y\in S$，将 $2x-y$ 加入 $S$ 中。

分析

• 观察操作可以发现，$2x-y$ 实际上就是数轴上 $y$ 关于 $x$ 的对称点，因此这个操作只与 $x$ 和 $y$ 在数轴上的相对位置有关，与具体位置（具体数值）无关。继续观察可以发现，如果 $0\in S$，那么就会有几个很好的性质：

1. 若 $x\in S$，那么 $n\cdot x\in S,n\in \mathbb{Z}$。
2. 若 $x,y\in S$，那么 $x+y\in S$。

• 为了可以利用这两条性质，我们可以将 $S$ 变化为 $S^{\prime }=\{a_i-a_1\}$，并把 $k$ 减去 $a_1$（就相当于将数轴平移了）。此时 $0\in S^{\prime }$，因此在无限次进行操作之后，得到的就是 $S^{\prime }$ 的整线性组合 $S^{″}=\{x|x=m\cdot gcd(a_2,a_3,\cdots ,a_n),m\in \mathbb{Z}\}$，判断 $k\in S^{″}$ 即判断 $gcd(a_2,a_3,\cdots ,a_n)\mid k$，直接求解即可。

AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 200005
using namespace std;
int n, k, a[N];
 
inline int read(int &x) {
	char ch = x = 0;
	int m = 1;
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		ch = getchar();
		if (ch == '-') m *= -1;
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48;
		ch = getchar();
	}
	x *= m;
	return x;
}
 
int gcd(int x, int y) {
	if (y == 0) return x;
	return gcd(y, x % y);
}
 
signed main() {
	int T;
	read(T);
	while (T--) {
		read(n), read(k);
		for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
		sort(a + 1, a + 1 + n);
		for (int i = 2; i <= n; i++) a[i] -= a[1]; //平移数轴
		k -= a[1];
		if (k == 0) { //避免取余 k
			printf("YES\n");
			continue;
		}
		a[1] = 0;
		int g = a[2];
		for (int i = 3; i <= n; i++) g = gcd(g, a[i]); //求解 gcd
		if (k % g) printf("NO\n");
		else printf("YES\n");
	}
	return 0;
}