AT_abc270_g [ABC270G] Sequence in mod P 题解

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题意

• 给出递推式如下，求最小的使 $X_i=G$ 成立的 $i$。

$$X_i=\{\begin{array}{ll}S& i=0\\ (A\times X_{i-1}+B)modp& i\ge 1\end{array}$$

分析

• 这里分几种情况来分析：当 $A=0$ 时，$X_i$ 要么等于 $S$，要么等于 $B$，直接判断即可；当 $A=1$ 时，$X_i$ 为等差数列，通项公式为 $X_i=(S+i\times B)modp$，于是求解同余方程 $S+i\times B\equiv G(\mathrm{mod}p)$ 即可。
• 最后一种情况，当 $A\ge 2$ 时，根据高中的一些知识我们可以知道，这个是可以转化成一个等比数列的。待定系数 $C$ 有 $X_i+C\equiv A(X_{i-1}+C)(\mathrm{mod}p)$，解得 $C=(A-1{)}^{-1}\cdot Bmodp$。令 $Y_i=(X_i+C)modp$，那么 $Y_i\equiv A^i\cdot Y_0\equiv A^i\cdot (S+C)(\mathrm{mod}p)$。因此原问题转化为关于 $i$ 的同余方程 $G+C\equiv A^i\cdot (S+C)(\mathrm{mod}p)$ 是否有解和最小正整数解的问题了。这是离散对数问题，利用大步小步算法求解即可。

大步小步算法（BSGS）

• 用于求解形如方程 $A^x\equiv B(\mathrm{mod}p)$ 的离散对数问题，其基于 meet-in-the-middle 的思想，复杂度 $\tilde{O}(\sqrt{n})$。
• 首先因为 $A^{x+n(p-1)}\equiv A^x(A^{p-1}{)}^n\equiv A^x(\mathrm{mod}p)$，所以如果原方程有解，则在 $[0,n-2]$ 的范围也一定有解。
• 我们拆分 $x$，令 $B=\lceil \sqrt{p}\rceil$，则一定存在 $0\le L,R\le B$ 使得 $x=L\cdot B-R$。此时方程转化为求解 $0\le L,R\le B$ 满足

$$A^{LB}\equiv B\cdot A^R(\mathrm{mod}p)$$

• 根据这个式子，我们先预处理出 $S=\{(A^B{)}^{L}modp|0\le L\le B\}$ 中的所有值，然后对于每一个 $0\le R\le B$ 计算出 $B\cdot A^{R}modp$ 并判断是否在集合 $S$ 中即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf 1e10
using namespace std;
int a, b, s, g, p;
int A, B, C;
 
inline void read(int &x) {
	char ch = x = 0;
	int m = 1;
	while (ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48;
		ch = getchar();
	}
	x *= m;
	return ;
}
 
inline void print(int x) {
	if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
	static int stk[50];
	int top = 0;
	do {
		stk[top++] = x % 10;
		x /= 10;
	} while (x);
	while (top) {
		putchar(stk[--top] + 48);
	}
	putchar('\n');
	return ;
}
 
inline int ksmi(int a, int b, int p) {
	a %= p;
	int res = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) res = res * a % p;
		a = a * a % p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
 
inline int BSGS(int a, int b, int p) {
	a %= p, b %= p;
	if (b == 1 || a == b) return b != 1;
	map<int, int> mp;
	int B = ceil(sqrt(p)), res = inf;
	for (int i = B; i; i--) {
		mp[ksmi(a, i * B, p)] = i * B;
	}
	for (int i = 0; i <= B; i++) {
		if (mp.find(b * ksmi(a, i, p) % p) != mp.end()) {
			res = min(res, mp[b * ksmi(a, i, p) % p] - i);
		}
	}
	if (res == inf) {
		return -1;
	} else {
		return res;
	}
}
 
signed main() {
	int T;
	read(T);
	while (T--) {
		read(p), read(a), read(b), read(s), read(g);
		if (s == g) print(0);
		else if (a == 0) {
			if (b == g) print(1);
			else print(-1);
		} else if (a == 1) {
			if (b == 0) print(-1);
			else {
				int x = ((g - s) % p + p) % p * ksmi(b, p - 2, p) % p;
				print(x);
			}
		} else if (s == 0 && b == 0) {
			print(-1);
		} else {
			A = a, C = ksmi(A - 1, p - 2, p) * b % p;
			B = ksmi(s + C, p - 2, p) * ((g + C) % p) % p;
			print(BSGS(A, B, p));
		}
	}
	return 0;
}