AT_arc117_c [ARC117C] Tricolor Pyramid 题解

• [ARC117C] Tricolor Pyramid
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题意

• 给一个金字塔的底部颜色组成和生长规律，问顶部的颜色是什么。

分析

• 试几次就可以很容易得到的一种构造：令颜色 B 为 $0$，W 为 $1$，R 为 $2$。设左右两个方块的颜色分别为 $co{l}_l$ 和 $co{l}_r$，则生长规则可以描述为 $co{l}_{now}\equiv -(co{l}_l+co{l}_r)(\mathrm{mod}3)$。因为底部每一个元素有 $C_{n-1}^{i-1}$ 种方式贡献到顶部元素上（一共要走 $n-1$ 步，其中有 $i-1$ 步是向左走，因此是 $C_{n-1}^{i-1}$），于是顶部元素颜色的表达式就出来了。

$$co{l}_{top}\equiv (-1{)}^n\sum _1^n{C}_{n-1}^{i-1}co{l}_i(\mathrm{mod}3)$$

• 这里的 $p$ 很小，因此组合数直接用 Lucas 求解即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 500005
using namespace std;
int n, a[N], ans;
 
inline int C(int n, int m) {
	if (n < m) return 0;
	int res = 1;
	for (int i = n - m + 1; i <= n; i++) res *= i;
	for (int i = 1; i <= m; i++) res /= i;
	return res % 3;
}
 
int Lucas(int n, int m) {
	if (m == 0) return 1;
	return Lucas(n / 3, m / 3) * C(n % 3, m % 3) % 3;
}
 
signed main() {
	scanf("%lld", &n);
	char ch = 0;
	while (ch < 'A' || ch > 'Z') ch = getchar();
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (ch == 'B') a[i] = 0;
		if (ch == 'W') a[i] = 1;
		if (ch == 'R') a[i] = 2;
		ch = getchar();
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans += Lucas(n - 1, i - 1) * a[i] % 3;
		ans %= 3;
	}
	if ((n & 1) == 0) ans = (3 - ans) % 3;
	if (ans == 0) printf("B");
	if (ans == 1) printf("W");
	if (ans == 2) printf("R");
	return 0;
}