P5605 小 A 与两位神仙 题解
题意
- 给定 \(x\)、\(y\) 和 \(m\)，其中 \(m=p^n,n\in \mathbb{N+},p\ge3\)，问同余方程 \(x^a\equiv y\pmod m\) 是否有非负整数解。
分析
前置芝士
化简
- 对这种指数型的同余方程是很难解决的，我们要先把它转化成线性的同余方程。原式很讨人厌的一点就是 \(x\)、\(y\) 和 \(a\) 并不在同一个层次上，但是把 \(a\) 降下来很难
（主要是我不会），因此想到将 \(x\) 和 \(y\) 升到幂的位置上，由此联想到原根。根据原根的存在性判定我们知道 \(m\) 存在原根。令 \(g\) 为 \(m\) 的一个原根，\(i_x\) 表示使 \(g^i\equiv x\bmod m\) 成立的 \(i\) 值，于是有
\[x^a\equiv y\pmod m
\]
等价于
\[g^{i_xa}\equiv g^{i_y}\pmod m
\]
等价于
\[i_xa\equiv i_y\pmod {\varphi(m)}
\]
- 这是一个线性同余方程，但是我们并不知道 \(i_x\) 和 \(i_y\) 的值具体为多少，所以这里需要进一步转化。上式等价于
\[\gcd(i_x,\varphi(m))\mid\gcd(i_y,\varphi(m))
\]
再由 \(\large\delta_m(x)=\delta_m(g^{i_x})=\frac{\varphi(m)}{\gcd(i_x,\varphi(m))}\) 可转化为
\[\frac{\varphi(m)}{\delta_m(x)}\mid\frac{\varphi(m)}{\delta_m(y)}
\]
等价于
\[\delta_m(y)\mid\delta_m(x)
\]
- 于是原来的问题就转化为求解 \(\delta_m(x)\) 和 \(\delta_m(y)\) 了，这就简化很多了，可以直接求解。
求解
- 求欧拉函数很简单，有多种解法，由于这里仅需要 \(m\) 这一个数的 \(\varphi\) 值，所以直接用 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\) 求解即可。对于 \(\delta_m(x)\)，利用 \(\delta_m(x)\mid\varphi(m)\) 的性质直接对 \(\varphi(m)\) 进行质因数分解，一一试除即可。
- 还有，下面代码用了
(__int128)的乘法不用会爆 long long，会导致各种错误，我为了这个也就调了 3 个小时而已吧，后面实在不行就照着 Alex_Wei 大佬的代码重改了一遍才发现，血泪教训。 - 还有，求 \(\varphi(m)\) 的值我最初是用的 \(O(\sqrt n)\) 的单个求法的，交上去 TLE 了之后才意识到会时间爆炸，参考 Alex_Wei 大佬的代码后改用分解质因数的方法（也就是上面说的做法），这种做法的复杂度是 \(O(n^{\frac{1}4})\)，快了不少（
求完之后记得清空统计质因数的 map，调这玩意花了 30 分钟）。
AC 代码
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf 1e9
using namespace std;
int n, m, phi, x, y;
map<int, bool> mp;
inline void read(int &x) {
char ch = x = 0;
int m = 1;
while (ch < '0' || ch > '9') {
ch = getchar();
if (ch == '-')
m *= -1;
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48;
ch = getchar();
}
x *= m;
return ;
}
int seed;
inline int rnd(int x) {
int a = rand() % 1145 + 1;
x *= a;
x ^= x << 13;
x ^= x >> 7;
x ^= x << 17;
x /= a;
return abs(x);
}
int gcd(int a, int b) {
if (b == 0) return a;
return gcd(b, a % b);
}
inline int ksmi(__int128 a, int b, int mod) {
int s = 1;
while (b) {
if (b & 1) s = a * s % mod;
a = a * a % mod;
b >>= 1;
}
return s;
}
inline bool mr(int n) {
if (n < 3 || n % 2 == 0) return n == 2;
int r = n - 1, d = 0;
while ((r & 1) == 0) {
r >>= 1;
d++;
}
int a, v;
for (int i = 1; i <= 20; i++) {
a = seed = rnd(seed);
a = a % (n - 2) + 2;
v = ksmi(a, r, n);
if (v == 1) continue;
for (int j = 0; j <= d; j++) {
if (j == d) return 0;
if (v == n - 1) break;
v = (__int128)v * v % n;
}
}
return 1;
}
inline int pol(int n) {
int s = 0, t = 0, now = 1, c = seed = rnd(seed);
c = c % (n - 1) + 1;
int k = 1;
while (1) {
for (int j = 1; j <= k; j++) {
t = ((__int128)t * t + c) % n;
now = (__int128)now * abs(s - t) % n;
if ((j % 127 == 0 || j == k) && gcd(now, n) > 1) return gcd(now, n);
}
s = t;
k <<= 1;
}
}
void fac(int n) {
if (n == 1) return;
if (mr(n)) {
mp[n] = 1;
return ;
}
int p = n;
while (p == n) p = pol(n);
while (n % p == 0) n /= p;
fac(p);
fac(n);
return ;
}
signed main() {
srand((unsigned)time(0));
seed = rand() * rand();
read(m), read(n);
fac(m);
int pri = mp.begin() -> first;
phi = m - (m / pri);
mp.clear();
fac(phi);
int ordx, ordy, now;
while (n--) {
read(x), read(y);
ordx = ordy = phi;
for (auto it : mp) {
now = it.first;
while (ordx % now == 0 && ksmi(x, ordx / now, m) == 1) ordx /= now;
while (ordy % now == 0 && ksmi(y, ordy / now, m) == 1) ordy /= now;
}
if (ordx % ordy) printf("No\n");
else printf("Yes\n");
}
return 0;
}
