P5605 小 A 与两位神仙 题解

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• P5605 小 A 与两位神仙

题意

• 给定 $x$、$y$ 和 $m$，其中 $m=p^n,n\in \mathbb{N}\mathbb{+},p\ge 3$，问同余方程 $x^a\equiv y(\mathrm{mod}m)$ 是否有非负整数解。

分析

前置芝士

• Pollard_rho
• 原根

化简

• 对这种指数型的同余方程是很难解决的，我们要先把它转化成线性的同余方程。原式很讨人厌的一点就是 $x$、$y$ 和 $a$ 并不在同一个层次上，但是把 $a$ 降下来很难 （主要是我不会），因此想到将 $x$ 和 $y$ 升到幂的位置上，由此联想到原根。根据原根的存在性判定我们知道 $m$ 存在原根。令 $g$ 为 $m$ 的一个原根，$i_x$ 表示使 $g^i\equiv xmodm$ 成立的 $i$ 值，于是有

$$x^a\equiv y(\mathrm{mod}m)$$

等价于

$$g^{i_{x}a}\equiv g^{i_y}(\mathrm{mod}m)$$

等价于

$$i_{x}a\equiv i_y(\mathrm{mod}\phi (m))$$

• 这是一个线性同余方程，但是我们并不知道 $i_x$ 和 $i_y$ 的值具体为多少，所以这里需要进一步转化。上式等价于

$$gcd(i_x,\phi (m))\mid gcd(i_y,\phi (m))$$

再由 ${\delta }_m(x)={\delta }_m(g^{i_x})=\frac{\phi (m)}{gcd(i_x,\phi (m))}$ 可转化为

$$\frac{\phi (m)}{{\delta }_m(x)}\mid \frac{\phi (m)}{{\delta }_m(y)}$$

等价于

$${\delta }_m(y)\mid {\delta }_m(x)$$

• 于是原来的问题就转化为求解 ${\delta }_m(x)$ 和 ${\delta }_m(y)$ 了，这就简化很多了，可以直接求解。

求解

• 求欧拉函数很简单，有多种解法，由于这里仅需要 $m$ 这一个数的 $\phi$ 值，所以直接用 $\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$ 求解即可。对于 ${\delta }_m(x)$，利用 ${\delta }_m(x)\mid \phi (m)$ 的性质直接对 $\phi (m)$ 进行质因数分解，一一试除即可。
• 还有，下面代码用了 (__int128) 的乘法不用会爆 long long，会导致各种错误，我为了这个也就调了 3 个小时而已吧，后面实在不行就照着 Alex_Wei 大佬的代码重改了一遍才发现，血泪教训。
• 还有，求 $\phi (m)$ 的值我最初是用的 $O(\sqrt{n})$ 的单个求法的，交上去 TLE 了之后才意识到会时间爆炸，参考 Alex_Wei 大佬的代码后改用分解质因数的方法（也就是上面说的做法），这种做法的复杂度是 $O(n^{\frac{1}{4}})$，快了不少（求完之后记得清空统计质因数的 map，调这玩意花了 30 分钟）。

AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf 1e9
using namespace std;
int n, m, phi, x, y;
map<int, bool> mp;
 
inline void read(int &x) {
	char ch = x = 0;
	int m = 1;
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		ch = getchar();
		if (ch == '-')
			m *= -1;
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48;
		ch = getchar();
	}
	x *= m;
	return ;
}
 
int seed;
inline int rnd(int x) {
	int a = rand() % 1145 + 1;
	x *= a;
	x ^= x << 13;
	x ^= x >> 7;
	x ^= x << 17;
	x /= a;
	return abs(x);
}
 
int gcd(int a, int b) {
	if (b == 0) return a;
	return gcd(b, a % b);
}
 
inline int ksmi(__int128 a, int b, int mod) {
	int s = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) s = a * s % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return s;
}
 
inline bool mr(int n) {
	if (n < 3 || n % 2 == 0) return n == 2;
	int r = n - 1, d = 0;
	while ((r & 1) == 0) {
		r >>= 1;
		d++;
	}
	int a, v;
	for (int i = 1; i <= 20; i++) {
		a = seed = rnd(seed);
		a = a % (n - 2) + 2;
		v = ksmi(a, r, n);
		if (v == 1) continue;
		for (int j = 0; j <= d; j++) {
			if (j == d) return 0;
			if (v == n - 1) break;
			v = (__int128)v * v % n;
		}
	}
	return 1;
}
 
inline int pol(int n) {
	int s = 0, t = 0, now = 1, c = seed = rnd(seed);
	c = c % (n - 1) + 1;
	int k = 1;
	while (1) {
		for (int j = 1; j <= k; j++) {
			t = ((__int128)t * t + c) % n;
			now = (__int128)now * abs(s - t) % n;
			if ((j % 127 == 0 || j == k) && gcd(now, n) > 1) return gcd(now, n);
		}
		s = t;
		k <<= 1;
	}
}
 
void fac(int n) {
	if (n == 1) return;
	if (mr(n)) {
		mp[n] = 1;
		return ;
	}
	int p = n;
	while (p == n) p = pol(n);
	while (n % p == 0) n /= p;
	fac(p);
	fac(n);
	return ;
}
 
signed main() {
	srand((unsigned)time(0));
	seed = rand() * rand();
	read(m), read(n);
	fac(m);
	int pri = mp.begin() -> first;
	phi = m - (m / pri);
	mp.clear();
	fac(phi);
	int ordx, ordy, now;
	while (n--) {
		read(x), read(y);
		ordx = ordy = phi;
		for (auto it : mp) {
			now = it.first;
			while (ordx % now == 0 && ksmi(x, ordx / now, m) == 1) ordx /= now;
			while (ordy % now == 0 && ksmi(y, ordy / now, m) == 1) ordy /= now;
		}
		if (ordx % ordy) printf("No\n");
		else printf("Yes\n");
	}
	return 0;
}