P9753 [CSP-S 2023] 消消乐 题解

题意

• 类似于一般的消消乐，连着的两个相同的字母可以被消去，消去后字符串重新拼在一起。求能被完全消去的子串数量。

分析

• 先想想什么样的字符串可以被全部消去。看完题目，有没有一种括号序列的感觉？
• 设 $c$ 为任意小写字母，假设字符串 $A$ 和 $B$ 都能被完全消去，那么 $c+A+c$ 以及 $A+B$ 这两种串都是可被完全消去的。
• 那我们该怎么统计有哪些串可被完全消去呢？
• 先不管那些长长的、像 $A+B+\cdots$ 这样被拼在一起的串，我们先找出来最短的那些串，然后利用 DP 统计即可。

推导

1. 求出最短的可消去串

• 定义 $ls{t}_i$ 表示以下标 $i$ 为结尾的最短串的区间为 $[ls{t}_i,i]$。特别的，不存在这样的区间时 $ls{t}_i=0$。
• 对于 $c+c$，也即 $st{r}_i=st{r}_{i-1}$ 这种情况，$ls{t}_i=i-1$。
• 对于 $c+A+c$ 的情况，我们设 $l=i-1$，while 循环判断 $st{r}_l$ 是否等于 $st{r}_i$，不等于的话就令 $l=ls{t}_l-1$。可以结合下图来理解。
• 图中每一个方框都是一个 $[ls{t}_i,i]$ 的区间，$l$ 按照青色箭头方向转移。当 $l$ 处在最左侧的 $x$ 的位置时找到最小区间，赋值 $ls{t}_i=l$。

2. 求出可消去串数量

• 定义 $f_i$ 表示以下标 $i$ 为结尾的可消去串数量。那么当 $ls{t}_i\ne 0$ 时就有转移

$$f_i=f_{ls{t}_i-1}+1$$

• 再举一个例子。如图，每一个方框都表示一个区间 $[ls{t}_i,i]$。在求 $f_9$ 时，区间 $[8,9]$ 是一个新的可消去串，而且 $f_7$ 所对应的每一个可消去串后面接上一个 $[8,9]$ 也仍然是一个可消去串。
• 于是就得到了式子 $f_9=f_7+1$，$f_7$ 代表的是 $f_7$ 所对应的每一个可消去串后面接上一个 $[8,9]$ 组成的串，$+1$ 表示增加 $[8,9]$ 这个串。

3. 答案

• 很显然，最终答案把所有的 $f_i$ 加起来就好了。

考场代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 2000005
using namespace std;
int n, a[N], lst[N], f[N], ans;
 
signed main() {
//	freopen("game.in", "r", stdin);
//	freopen("game.out", "w", stdout);
	scanf("%lld", &n);
	char ch = n = 0;
	while (ch < 'a' || ch > 'z') ch = getchar();
	while (ch >= 'a' && ch <= 'z') {
		a[++n] = ch - 'a';
		ch = getchar();
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		int l = i - 1;
		while (l > 0 && a[i] != a[l]) { //跳lst求解，说实话有点像KMP
			l = lst[l] - 1;
		}
		if (l == -1) l++;
		lst[i] = l;
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (lst[i]) { //存在可消去串的就转移
			f[i] += f[lst[i] - 1] + 1;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) { //统计答案
		ans += f[i];
	}
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}
/*
The moon is shining. Thank you, moon.
*/
 

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