P6394 樱花，还有你 题解

P6394 题解

前言

• 超浪漫的原题
• 博客看文更佳

题意

• 在 $n$ 种物品中，每种最多选择 $s_i$ 个，问恰巧选出 $m$ 个物品的方案数（一模一样的题目：摆花）。

分析

状态及转移的设计

• 这是一道很浪漫且经典的 DP 题。设 $f_{i,j}$ 表示在第 $i$ 颗树下正好收集到 $j$ 朵樱花，初始状态 $f_{0,0}=1$。写出基本的转移方程：

$$f_{i,j}=\sum _{l=j-s_i}^j{f}_{i-1,l}$$

• 就是这么简单（吗）！分析一下时间复杂度就能发现，这个做法是 $O(n{m}^2)$ 的，只能通过 $80\text{pts}$ 的分数。那该怎么办呢？
• 通过观察转移方程式可以发现，我们要求的 $\sum$ 中的 $f$ 是在连续区间内的！因此我们可以加入前缀和来优化转移，设 $pr{e}_{i,j}$ 表示 $\sum _{k=1}^j{f}_{i,k}$，于是就能将转移方程改为：

$$f_{i,j}=pr{e}_{i-1,j}-pr{e}_{i-1,k-1}$$

• 这里 $k=max(0,j-s_i)$。如果 $k=0$，那么就不用减去 $pr{e}_{i-1,k-1}$ 一项了（毕竟在某种程度上说，$pr{e}_{i-1,-1}=0$）。并且，我们在计算 $f$ 的同时就可以计算 $pre$（小卡常）。
• 注意：取模时两个 $pre$ 相减可能出现负数，注意要判负！（别问我怎么知道）

上代码！

#include <bits/stdc++.h>
#define N 5003
#define mod 10086001
using namespace std;
int n, m, s[N], f[N][N], pre[N][N], ans;
 
inline void read(int &x) {
	char ch = x = 0;
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48;
		ch = getchar();
	}
	return ;
}
 
int main() {
	read(m), read(n);
	int sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		read(s[i]);
		sum += s[i];
	}
	if (sum < m) { //判断 IMP
	    printf("impossible");
	    return 0;
	}
	f[0][0] = 1; //初始状态 
	for (int i = 0; i <= m; i++) { //注意要提前赋值 
		pre[0][i] = 1;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j <= m; j++) {
			int minn = max(j - s[i], 0);
			f[i][j] = pre[i - 1][j];
			if (minn) f[i][j] -= pre[i - 1][minn - 1]; //计算转移 
			while (f[i][j] < 0) f[i][j] += mod; //解决出现负数的情况 
			pre[i][j] = f[i][j];
			if (j) pre[i][j] = (pre[i][j] + pre[i][j - 1]) % mod;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) { //统计答案 
		ans = (ans + f[i][m]) % mod;
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

• 但是嘛……

空间优化

• 经过两次提交后我才发现（好吧我眼睛确实有点问题）——这题他只给了 $64.00\text{MiB}$ 的空间！（卡不了时间就狂卡空间是吧？）
• 接下来就该考虑空间上的优化了。让我们再次看看 $f$ 的转移方程还有 $pre$ 的计算方程：

$$\begin{array}{c}{f}_{i,j}=pr{e}_{i-1,j}-pr{e}_{i-1,k-1}\\ pr{e}_{i,j}=pr{e}_{i,j-1}+f_{i,j}\end{array}$$

• 可以发现，所有的方程都只与 $i$ 和 $i-1$ 上的变量有关！因此我们就可以压缩掉第一维（注意：$f$ 在计算时是要用到之前的 $pre$ 的，因此我们需要把 $f$ 和 $pre$ 分开计算，避免覆盖）。
• 这时就有人要问了：“那你最后统计答案怎么办？这道题在每棵树下都能结束啊？”那就每个 $f_m$ 算完就统计答案啊！（摇头叹气状）（这不废话嘛）

AC code

#include <bits/stdc++.h>
#define N 5003
#define mod 10086001
using namespace std;
int n, m, s[N], f[N], pre[N], ans;
 
inline void read(int &x) {
	char ch = x = 0;
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48;
		ch = getchar();
	}
	return ;
}
 
int main() {
	read(m), read(n);
	int sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		read(s[i]);
		sum += s[i];
	}
	if (sum < m) { //判断 IMP
		printf("impossible");
		return 0;
	}
	f[0] = 1;
	for (int i = 0; i <= m; i++) {
		pre[i] = 1;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j <= m; j++) {
			int minn = max(j - s[i], 0);
			f[j] = pre[j];
			if (minn) f[j] -= pre[minn - 1];
			while (f[j] < 0) f[j] += mod; //计算转移并判负 
		}
		pre[0] = f[0];
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			pre[j] = (f[j] + pre[j - 1]) % mod; //先计算 f 后计算 pre
		}
		ans = (ans + f[m]) % mod; //直接统计答案 
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

• 感谢能阅读到这里的各位！如有错误，欢迎指出！