P9559 [SDCPC2023] Fast and Fat 题解

题目（重现赛打的第二道题）

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• 求最小值最大，一眼答案二分（主要是最近被答案二分快折磨没了，比较敏感）
• 一个人可以进行可能有损的帮助，使整体速度变大

思路

这道题是对预计的速度进行二分查找，但是 check(v) 这个函数该如何写呢？

1. 首先，如果队伍速度的中位数都比要查找的 \(v\) 还小的话，那么一定不能成功

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小证明

如果有速度小于 \(v\) 的人，那他一定是要被背起的。若需要被背起的人数过半，那么这个速度一定不可能达到。

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2. 我们将输入复制一份，分别按照重量 \(w_i\) 以及重量与速度之和 \(w_i+v_i\) 排序。

• 为什么要这么做呢？观察题目里“背起”后速度的式子，打开括号可以得到：

\[v_i+w_i-w_j \]

• 也就是说，最终的速度只与 \(v_i+w_i\) 以及 \(w_j\) 有关。这里利用贪心思想，我们让需要背起的最重的人 \(j\)，与自身“容量”也即 \(v_i+w_i\) 最大的人 \(i\) 匹配起来。如果这样都不能匹配上，那么就一定无法达到要求的速度了。

3. 因为在第一点里还需要速度 \(v\) 的中位数，所以还需要复制一份以 \(v_i\) 排序，方便查询。

AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1005
using namespace std;
int n;

struct node {
	int v, w, id;
	bool operator <(const node &x)const {
		return v + w < x.v + x.w;
	}
} a[N], b[N], c[N];

inline bool cmdw(node a, node b) {
	return a.w < a.w;
}

inline bool cmdv(node a, node b) {
	return a.v < a.v;
}

inline void read(int &x) {
	char ch = x = 0;
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48;
		ch = getchar();
	}
	return ;
}

inline void print(int x) {
	static int stk[50];
	int top = 0;
	do {
		stk[top++] = x % 10;
		x /= 10;
	} while (x);
	while (top) {
		putchar(stk[--top] + 48);
	}
	putchar('\n');
	return ;
}

bool vis[N];
bool check(int x) {
	if (c[n >> 1].v < x) { //如果中位数（偶数个时取更大的那个）都不够，就直接返回
		return 0;
	}
	memset(vis, 0, sizeof vis);
	int l = n;
	for (int i = n; i; i--) {
		while ((b[l].v >= x || vis[b[l].id]) && l) { //找重量最大的需要背起的人
			l--;
		}
		while ((a[i].v < x || vis[a[i].id]) && i) { //找“容量”最大的可以背别人的人
			i--;
		}
		if (!i || !l) { //找完了就退出
			break;
		}
		if (a[i].v + a[i].w - b[l].w < x) { //如果“容量”最大的人都无法胜任，那就一定不行了
			return 0;
		}
		vis[a[i].id] = vis[b[l].id] = 1; //记得标记有人了
	}
	return 1;
}

int main() {
	int T, l, r, mid, res;
	read(T);
	while (T--) {
		read(n);
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			read(a[i].v), read(a[i].w);
			b[i].v = a[i].v, b[i].w = a[i].w; //读入时复制两份出来
			c[i].v = a[i].v, c[i].w = a[i].w;
			a[i].id = b[i].id = c[i].id = i;
		}
		sort(a + 1, a + 1 + n);
		sort(b + 1, b + 1 + n, cmdw);
		sort(c + 1, c + 1 + n, cmdv); //分别按照 w、v 和 w + v 来排序
		res = l = c[1].v, r = c[n].v;
		while (l <= r) { //答案二分
			mid = (l + r) >> 1;
			if (check(mid)) {
				l = mid + 1;
				res = mid;
			} else {
				r = mid - 1;
			}
		}
		print(res);
	}
	return 0;
}

• 我自己都没想到能一次过，这可能才是我第 \(3\) 次打正解是答案二分的题目，可以说是受益良多。
• 感觉代码挺复杂的，有优化或错误请大佬指正！
• 改了点细节的东西，直接交是过不了滴~