P1013 进制位 题解

题注

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• 这篇题解其实是上一篇题解（Llf0703 同志）证明过程的完善（其实就是思路一样了啦），来让入门者或追求严谨者对证明过程更加了解。

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题目分析

1. \(3 \leq n \leq9\)，也即数字的个数 \(N \leq 8\)。
2. 研究样例发现，\(N\) 与进制 \(R\)，以及数字对应两位数个数 \(M\) 与数字本身 \(S\) 具有

\[N = R, M = S \]

的关系，下面给出具体证明。

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证明

1. 证：\(N = R\)。

• 由题意可知，每个字母代表着不同的数字，所以 \(R \geq N\) 必然成立。
• 设加法表中每个数字分别为 \(a_i, i \in [0, N - 1]\)。
• 若 \(R > N\)，则存在有 \(k \in [0, R - 1]\)，满足 \(k \ne a_i, i \in [0, N - 1]\)。
• 因为在 \(R\) 进制下，二数相加最大可以达到 \(T\)，而

\[\begin{aligned} T & = 2(R - 1) \\ & = R + (R - 2) \\ & = (1r)_R \end{aligned} \]

• 其中 \(r = R - 2\)。
• 例：在 3 进制下，\(T = (2)_3 + (2)_3 = (11)_3\)。
• 所以一定会出现加法表中两数字相加等于 \(k\) 或等于 \((1k)_R\) 的情况，或者 \(k = 1\) 时加和等于 \((1x)_R, x \in [0, R - 2]\) 的情况，使得 \(k\) 出现在加法表上，这与 \(k \ne a_i, i \in [0, N - 1]\) 相矛盾，因此 \(R \ngtr N\)。
• 而由题目分析可知，\(N = R\) 是可以成立的。
• 因此，在加法表合法的情况下，\(N \equiv R\)，证毕。

2. 证：\(M = S\)。

• 由 1. 可知，\(N = R\)，且加法表中最高为两位数。
• 因为只有在 \(S + x \geq R\) 时，\((S)_R + (x)_R\) 才能为两位数，且 \(x\) 为 \(R\) 进制下的数字，则可列出以下的不等方程组

\[\begin{cases} S + x \geq R \\ x \leq R - 1 \end{cases} \]

• 解得方程解集为 \(x \in [R - S, R - 1]\)。
• 所以 \(M = (R - 1) - (R - S) + 1 = S\)，证毕。

结论

• 因此，题目分析中的两个猜想都成立，我们以此为基础打出代码。
• 先计算出每个字母所代表的数字（通过猜想 2），然后验证加法表是否匹配即可。

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AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, S[13], mp[13];
char str[13][13][3];

bool add(int a, int b) {
	int sum = S[a] + S[b], ch = str[a][b][0] - 'A' + 1; //计算加和，取第一位
	if (sum >= n - 1) { //有进位时，高位一定为1
		if (strlen(str[a][b]) != 2 || mp[1] != ch) {
			return 0; //若str[a][b]不为两位数或者第一位不为1，返回错误
		} else {
			sum -= n - 1; //减掉高位，取低位
			ch = str[a][b][1] - 'A' + 1;
		}
	}
	if (mp[sum] != ch) {
		return 0; //不匹配则返回错误
	}
	return 1;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%s", str[1][i]);
	}
	int M;
	bool flag = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		M = 0;
		for (int l = 1; l <= n; l++) {
			scanf("%s", str[i][l]);
			if (strlen(str[i][l]) > 1) {
				M++; //计算两位数个数
			}
		}
		S[i] = M; //记录字母对应数字
		if (flag == 0 && mp[M]) { //查重
			flag = 1;
		}
		mp[M] = str[i][1][0] - 'A' + 1; //记录数字对应字母以查重
	}
	if (flag) { //重复错误
		printf("ERROR!");
		return 0;
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		for (int l = 2; l <= n; l++) {
			if (add(i, l) == 0) { //加起来检验加法表是否匹配
				printf("ERROR!"); //不匹配错误
				return 0;
			}
		}
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		printf("%c=%d ", str[i][1][0], S[i]);
	}
	printf("\n%d", n - 1);
	return 0;
}