P1013 进制位 题解

题注

• 题目传送门
• 这篇题解其实是上一篇题解（Llf0703 同志）证明过程的完善（其实就是思路一样了啦），来让入门者或追求严谨者对证明过程更加了解。

---

题目分析

1. $3\le n\le 9$，也即数字的个数 $N\le 8$。
2. 研究样例发现，$N$ 与进制 $R$，以及数字对应两位数个数 $M$ 与数字本身 $S$ 具有

$$N=R,M=S$$

的关系，下面给出具体证明。

---

证明

1. 证：$N=R$。

• 由题意可知，每个字母代表着不同的数字，所以 $R\ge N$ 必然成立。
• 设加法表中每个数字分别为 $a_i,i\in [0,N-1]$。
• 若 $R>N$，则存在有 $k\in [0,R-1]$，满足 $k\ne a_i,i\in [0,N-1]$。
• 因为在 $R$ 进制下，二数相加最大可以达到 $T$，而

$$\begin{array}{rl}T& =2(R-1)\\ & =R+(R-2)\\ & =(1r{)}_R\end{array}$$

• 其中 $r=R-2$。
• 例：在 3 进制下，$T=(2{)}_3+(2{)}_3=(11{)}_3$。
• 所以一定会出现加法表中两数字相加等于 $k$ 或等于 $(1k{)}_R$ 的情况，或者 $k=1$ 时加和等于 $(1x{)}_R,x\in [0,R-2]$ 的情况，使得 $k$ 出现在加法表上，这与 $k\ne a_i,i\in [0,N-1]$ 相矛盾，因此 $R\ngtr N$。
• 而由题目分析可知，$N=R$ 是可以成立的。
• 因此，在加法表合法的情况下，$N\equiv R$，证毕。

2. 证：$M=S$。

• 由 1. 可知，$N=R$，且加法表中最高为两位数。
• 因为只有在 $S+x\ge R$ 时，$(S{)}_R+(x{)}_R$ 才能为两位数，且 $x$ 为 $R$ 进制下的数字，则可列出以下的不等方程组

$$\{\begin{array}{l}S+x\ge R\\ x\le R-1\end{array}$$

• 解得方程解集为 $x\in [R-S,R-1]$。
• 所以 $M=(R-1)-(R-S)+1=S$，证毕。

结论

• 因此，题目分析中的两个猜想都成立，我们以此为基础打出代码。
• 先计算出每个字母所代表的数字（通过猜想 2），然后验证加法表是否匹配即可。

---

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, S[13], mp[13];
char str[13][13][3];
 
bool add(int a, int b) {
	int sum = S[a] + S[b], ch = str[a][b][0] - 'A' + 1; //计算加和，取第一位
	if (sum >= n - 1) { //有进位时，高位一定为1
		if (strlen(str[a][b]) != 2 || mp[1] != ch) {
			return 0; //若str[a][b]不为两位数或者第一位不为1，返回错误
		} else {
			sum -= n - 1; //减掉高位，取低位
			ch = str[a][b][1] - 'A' + 1;
		}
	}
	if (mp[sum] != ch) {
		return 0; //不匹配则返回错误
	}
	return 1;
}
 
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%s", str[1][i]);
	}
	int M;
	bool flag = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		M = 0;
		for (int l = 1; l <= n; l++) {
			scanf("%s", str[i][l]);
			if (strlen(str[i][l]) > 1) {
				M++; //计算两位数个数
			}
		}
		S[i] = M; //记录字母对应数字
		if (flag == 0 && mp[M]) { //查重
			flag = 1;
		}
		mp[M] = str[i][1][0] - 'A' + 1; //记录数字对应字母以查重
	}
	if (flag) { //重复错误
		printf("ERROR!");
		return 0;
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		for (int l = 2; l <= n; l++) {
			if (add(i, l) == 0) { //加起来检验加法表是否匹配
				printf("ERROR!"); //不匹配错误
				return 0;
			}
		}
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		printf("%c=%d ", str[i][1][0], S[i]);
	}
	printf("\n%d", n - 1);
	return 0;
}