动态规划之完全背包问题

本文理论内容部分参考自崔添翼的背包九讲系列及acwing。

01背包问题可参考上一篇动态规划之01背包问题。

一、完全背包问题

有N种物品和一个容量为V的背包，第i种物品的体积为\(v_i\)，价值为\(w_i\)，每种物品有无限个（相当于可重复使用）。求解将哪些物品放入背包可以达到总价值最大。

二、基本思路

这个问题非常类似01背包问题，特点是：每种物品有无数件，可以选择0件、1件、2件...直到\(V/v_i\)件。
用子问题定义状态：即\(F[i,j]\)表示前i件物品放入容量为j的背包，可以获得的最大价值。

状态转移方程：

\[F[i,j] = max\{F[i-1,j-kv_i] + kw_i|0≤kv_i≤j\} \]

这跟01背包问题一样有O(VN) 个状态需要求解，求解状态F[i,j]的时间是\(O(j/v_i)\)，总的复杂度可以认为是\(O(NV\sum \frac V{v_i}))\)，需要改进。

三、闫氏dp分析法

根据以上状态转移方程：

\(F[i,j] = max\{F[i-1,j], F[i-1,j-v_i] + w_i, F[i-1,j-2v_i] + 2w_i, ...\}\)

\(F[i,j-v_i] = max\{F[i-1,j-v_i], F[i-1,j-2v_i] + w_i, F[i-1,j-3v_i] + 2w_i, ...\}\)

可以得到优化后的状态转移方程：

\[F[i,j] = max\{F[i-1,j], F[i, j-v_i] + w_i\} \]

对比01背包问题，只有表达式中的i与i-1有差异：

\[F[i,j] = max\{F[i-1,j], F[i-1,j-v_i] + w_i\} \]

步骤总结（类似01背包）

1. 使用一个N*V的二维数组记录dp[i][j]
2. 初始化：dp = [[0 for _ in range(max_V+1)] for _ in range(N)]
3. 边界：i=0 或j=0 时，dp[i][j] = 0
4. 外层循环：i种物品，从1到N循环
5. 内层循环：容量V，从1到V循环
6. j < vi时，第i种物品放入容量为j的背包，因此dp[i][j] = dp[i-1][j]
7. j >= vi时，状态转移方程：
8. dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-vi] + wi)

python版代码

# 4种物品属性
v = [0, 1, 2, 3, 4]
w = [0, 2, 4, 4, 5]

N = len(v)
max_V = 5
dp = [[0 for _ in range(max_V+1)] for _ in range(N)]
for i in range(1, N):
    for j in range(1, max_V+1):
        if j < v[i]:
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
        else:
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-v[i]] + w[i])

print(dp[N-1][max_V])

输出结果：

四、优化空间复杂度

一维数组的更新方式：
\(j >= v_i\)时，\(dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i])\)
由于v[i]是正数，dp[i][j-v[i]]在dp[i][j]前更新，顺序更新即可。

步骤总结

1. 使用一个长度为V的一维数组记录dp[j]，初始化：dp = [0 for _ in range (V+1)]
2. 边界：dp[0] = 0
3. 外层循环：i种物品，从0到N-1循环
4. j >= vi时，状态转移方程：dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i])

python版代码

# 物品属性
v = [1, 2, 3, 4]
w = [2, 4, 4, 5]

N = len(v)
V = 5

dp = [0 for _ in range(V + 1)]
for i in range(N):
    for j in range(v[i], V + 1):
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i])

print(dp[V])

输出结果：