博物馆大盗问题的动态规划（背包问题）

博物馆大盗问题

大盗潜入博物馆，面前有5件宝物，分别有重量和价值，大盗的背包仅能负重20公斤，请问如何选择宝物，总价值最高？

item	weight	value
1	2	3
2	3	4
3	4	8
4	5	8
5	6	10
m(i, W) 表示前i(1<=i<=5)个宝物中，组合不超过W(1<=W<=20) 重量，得到的最大价值。

• 第 i 件宝物重量 Wi > 背包承重 W, 那么m(i, W) = m(i-1, W)；

• 第 i 件宝物重量 Wi <= 背包承重 W，

  • 如果第 i 件宝物太重，加不到背包中，那么前 i 件宝物价值等于前 i-1 件宝物价值，即 m(i, W) = m(i-1, W)；
  • 如果第 i 件宝物可以加入到背包中，那么前 i 件宝物价值等于前 i-1 件宝物价值加上第 i 件宝物价值Wi，即 m(i, W) = m(i-1, W-Wi)+vi。
    因此，m(i, W) 应该是m(i-1, W) 和m(i-1, W-Wi)+vi 两者最大值，即m(i, W) = max{m(i-1, W), m(i-1, W-Wi)+vi}
    
    以m(5, 5)为例，m(5,5) = m(4,5) = max(m(3,5), m(3,0)+8), 动态规划表格如下：
    

动态规划解法代码

# 用一个列表来保存宝物的重量w和价值v
tr = [None, {'w':2, 'v':3}, {'w':3, 'v':4},
      {'w':4, 'v':8}, {'w':5, 'v':8}, {'w':9, 'v':10}]
# 设置背包最大承重
max_w = 20
# 初始化二维表格m[(i, w)]，将表格中所有价值均初始化为0
# 表示前i个宝物中，最大重量w的组合，所得到的最大价值
# 当i或w为0时，价值为0
m = {(i, w):0 for i in range(len(tr))
                 for w in range(max_w + 1)}
# 逐个填写二维表格
# 外层循环为 i个宝物，[1,6)的循环
# 内层循环为 重量w，[1, max_w+1)的循环
for i in range(1, len(tr)):
    for w in range(1, max_w + 1):
        if tr[i]['w'] > w:
            # 装不下第i个宝物，即不装第i个宝物
            m[(i, w)] = m[(i-1, w)]
        else:
            # 装得下第i个宝物时，在不装第i个宝物与装第i个宝物这两种情况下，取最大价值
            m[(i, w)] = max(m[(i-1, w)],
                            m[(i-1, w-tr[i]['w'])] + tr[i]['v'])
# 输出结果
print(m[(len(tr)-1, max_w)])

递归解法

# 用一个字典来保存宝物的重量w和价值v
tr = {(2, 3), (3, 4), (4, 8), (5, 8), (9, 10)}
# 设置背包最大承重
max_w = 20
# 初始化记忆化表格m
# key是(宝物组合，最大重量)，value是最大价值
m = {}

def thief(tr, w):
    if tr == set() or w == 0: # 基本结束条件
        m[(tuple(tr), w)] = 0
        return 0
    elif (tuple(tr), w) in m:
        return m[(tuple(tr), w)]
    else:
        vmax = 0
        for t in tr:
            if t[0] <= w:
                # 逐个从集合中去掉某个宝物t，递归调用
                # 选出所有价值中的最大值
                v = thief(tr-{t}, w-t[0]) + t[1] # 调用自身
                vmax = max(vmax, v)
        m[(tuple(tr), w)] = vmax
        return vmax
# 输出结果
print(thief(tr, max_w))