KDTree

先搬一下 OI-wiki 的定义！

KDTree (K-Demension Tree) 是一种可以高效处理 \(k\) 维信息的数据结构。
在结点数远大于 \(2^k\) 时，KDT的时间效率很好。
在算法竞赛的题目中，一般有 \(k=2\) 。
KDT具有二叉搜索树的形态，每个节点对应 \(k\) 维空间内的一个点。每个子树中的点 \(\Leftrightarrow\) 一个超长方体中的点。

接下来我们进行的分析都是在 \(k=2\) 的前提下进行的（肯定不是今天没做出来），在时间复杂度分析中，认为 \(k\) 是常数。

建树

步骤（初始想法）：

1. 如果当前超长方体里只有一个点，返回即可
2. 如果多于一个点，那我们选择一个维度，并按照这个维度把当前超长方体分为两个超长方体
3. 在选择的维度上选一个点，该维值小于该点的归入左子树超长方体，其余的归入右子树超长方体
4. 将选择的点作为该子树的根，处理左右子树

我们简单想一下，便可以发现第二步中维度轮流选肯定是较好的，而第三步中为了均分，我们可以选中位数。这样，树高最多为 \(\log n+O(1)\) 。

下面是一个简单的例子。

对这些点进行划分，其中红色是第一轮，绿色是第二轮，选中的分割点用X标出。

设左下角的点坐标为 \((0,0)\)，画出得到的kdt如图：

那，我们怎么建树呢？

步骤 \(1\) ，步骤 \(2\) 的选维度和步骤 \(4\) 是好做的，所以瓶颈在于如何选中位数作为分割点。在这一步中，我们需要找到中位数并将其放在序列中间（即正确的位置）。考虑快排的思想，快排每次把一个数与序列中每一个数进行比较，将小的放在左边，大的放在右边，保证该数此时在最终序列的正确的位置，然后递归做左右两边的排序。由于我们只需要把中位数放好，我们只需要做包含中位数的一侧的排序，这样的期望时间复杂度是 \(O(n)\) 的。

其实 algorithm 库中有一个叫 nth_element() 的函数，实现的是同样的功能。要找到 s[l] 和 s[r] 之间的值按照 cmp 排序后在 s[mid] 上的值，只需写 nth_element(s+l,s+mid,s+r+1,cmp) 。

由此我们可以 \(O(n\log n)\) 建出KDT。

操作

查询

记录每个节点子树中每一维坐标最大值，最小值。查询一个超长方体时：

1. 节点子树与该超长方体无交，不搜了
2. 节点子树对应的超长方体被查询的包含，返回子树节点信息
3. 有交，不包含：判断该点是否被查询，更新答案并算左右子树

OIwiki证明了复杂度是 \(O(n^{1-\frac{1}{k}})\) ，但是我没看懂(((((((((

插入/删除

有两种维护方法，感觉有点抽象，没太懂

根号重构

插入的时候，存下插入点， \(B\) 次插入进行一次重构。

删除打个标记。

修改复杂度 \(O(\frac{n\log n}{B})\) ，查询 \(O(B+n^{1-\frac1k})\) ，\(B=O(\sqrt {n\log n})\) ，则两者同阶。

二进制分组

维护若干棵大小为 \(2\) 的自然数次幂的KDT，大小相加为 \(n\) 。
插入时加入一棵大小为 \(1\) 的KDT，然后我们把相同大小的树合并，合并方式是暴力重构，实现时可以只重构一次。该方法加入点的复杂度均摊 \(O(n\log^2n)\) ，查询复杂度不变。