算法导论14-3
读书笔记
本小节介绍了一种红黑树的扩展：区间树；
为每个节点添加了一个新属性\(int\)，属性\(int\)又有两个属性\(low,high\)，分别表示区间的两端；
区间重叠
区间便于表示占用一连续时间的一些事件。为了查询给定时间内发生的事件，需要在区间树找到与给定时间重叠的部分；
假设在一条直线有左右两个点\(a,b\)，由这两个点向左或者向右划线段，两条线段在下面三种情况下会重叠：
所以若有两条线段\(i,i'\)，当\(i.low \le i'.high \;\&\&\; i'.low \le i.high\)，则两条线段重叠。
区间树的扩展过程
INTERVAL-SEARCH(T, i)
x = T.root
while x != T.nil and i does not overlay x.int
if x.left != T.nil and x.left.max >= i.low
x = x.left
else
x = x.right
return x
课后习题
14.3-1
写出作用于区间树的节点且在\(O(1)\)时间内更新\(max\)属性的过程\(LEFT-ROTATE\)的伪代码。
LEFT-ROTATE(T, x)
y = x.right
y.max = x.max
x.max = max(x.left.max, y.left.max, x.int.high)
14.3-2
改写\(INTERVAL-SEARCH\)的代码，使得当所有区间都是开区间时，它也能正确地工作。
将循环的判断条件去掉等于。
14.3-3
请给出一个有效的算法，对一个给定的区间\(i\)，返回一个与\(i\)重叠且具有最小低端点的区间；或者当这样的区间不存在时返回\(T.nil\)。
MIN-SEARCH(T, i)
x = T.root
res = T.nil
mark = INT_MAX
while x != T.nil
if i overlap x.int
if x.int.low < mark
mark = x.low
res = x
if x.left != T.nil and x.left.max ≥ i.low
x = x.left
else
x = x.right
return res
14.3-4
给定一棵区间树\(T\)和一个区间\(i\)，请描述如何在\(O(min(n, k\lg{n}))\)时间内列出\(T\)中所有与\(i\)重叠的区间，其中\(k\)为输出的区间数。（提示：一种简单的方法是做若干次查询，并且在这些查询操作中修改树，另一种略微复杂点的方法是不对树进行修改。）
SEARCH-ALL(T.root, i)
x = T.root
if i overlap x.int
print x
if x.left != T.nil and x.left.max ≥ i.max
SEARCH-ALL(x.left, i)
if x.right != T.nil and x.right.int.low ≤ i.high and x.right.max ≥ i.low
SEARCH-ALL(x.right, i)
14.3-5
对区间树\(T\)和一个区间\(i\)，请修改有关区间树的过程来支持新的操作\(INTERVAL-SEARCH-EXACTLY(T, i)\)，它返回一个指向\(T\)中节点\(x\)的指针，使得\(x.int.low=i.low\)且\(x.int.high=i.high\)；或者如果\(T\)不包含这样的区间时返回\(T.nil\)。所有的操作（包括\(INTERVAL-SEARCH-EXACTLY(T, i)\)）对于包含\(n\)个节点的区间树运行时间都应为\(O(\lg{n})\)。
直接按照\(i.low\)搜索二叉树，然后判断 \(x.int.high\) 是否等于 \(i.high\) 即可。
14.3-6
说明如何来维护一个支持操作 \(MIN-GAP\) 的一些数的动态集 \(Q\)，使得该操作能给出 \(Q\) 中两个最接近的数之间的差值。例如，\(Q = {1, 5, 9, 15, 18, 22}\)，则 \(MIN-GAP\) 返回 \(18 -15 = 3\)，因为 $15 $和 \(18\) 是$ Q $中两个最接近的数。要使得操作 \(INSERT\)、\(DELETE\)、\(SEARCH\) 和$ MIN-GAP$ 尽可能高效，并分析它们的运行时间。
给红黑树的每个结点新增 \(min\)、\(max\)、\(mingap\) 属性。
\(x.min\)（以\(x\)为根的树中最小的关键字。）：插入时，只需更新插入的结点至根结点路径上 \(O(\lg{n})\) 个结点。更新结点操作\(x.min = min(x.left.min, x.key)\) 只需\(O(1)\)时间，所以插入操作对更新 \(min\) 属性也是 \(O(\lg{n})\) 时间。删除同理。
\(x.max\)（以\(x\)为根的树中最大的关键字。）：插入、删除和$x.min \(类似。\)x.max = max(x.right.max, x.key)$。
\(x.mingap\)（以$ x \(为根的树的\) MIN-GAP\(）：插入、删除依然是\)O(\lg{n}) $时间更新 \(mingap\) 属性，\(x.mingap = min(x.left.mingap, x.right.mingap, x.key - x.left.max, x.right.min - x.key)\)。
综上，\(INSERT\)、\(DELETE\)、\(SEARCH\) 时间为\(O(\lg{n})\)，\(MIN-GAP\) 时间为 \(O(1)\)。
