算法导论14-2
读书笔记
本小节介绍了扩展数据结构的抽象过程，同时证明了一个定理；
抽象过程
- 选择一种基础数据结构
- 确定基础数据结构中要维护的附加信息
- 检验基础数据结构上的基本修改操作能否维护附加信息
- 设计一些新的操作来应用附加信息
红黑树的扩张
设\(f\)是\(n\)个节点的红黑树\(T\)扩张的属性，且假设对任一节点\(x\)，\(f\)的值仅依赖于节点\(x, x.left, x.right\)的信息，可能包括\(x.left.f, x.right.f\)。那么，我们可以在插入和删除操作期间对\(T\)的所有节点的\(f\)值进行维护，并且不影响这两个操作的\(O(\lg{n})\)渐近时间性能。
课后习题
14.2-1
通过为节点增加指针的方式，试说明如何在扩展的顺序统计树上，支持每一动态集合查询操作\(MINIMUM,MAXMUM,SUCCESSOR,PREDECESSOR\)在最坏时间\(O(1)\)内完成。顺序统计树上的其他操作的渐近性能不应受影响。
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MINIMUM：用一个指针指向树中最小的元素。每次插入时与 MINIMUM 比较检测是否需要更改。若删除 MINIMUM，则指针指向它的后继。旋转不影响 MINIMUM。
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MAXIMUM：同 MINIMUM。
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PREDECESSOR、SUCCESSOR：给每个结点新增指向前驱和指向后继的指针。
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插入：时间复杂度仍为 \(O(\lg{n})\)，插入 \(x\) 结点时，若 \(x ≠ MAXIMUM\)，利用 \(O(\lg{n})\) 时间找到 \(x\) 的后继 \(y\)，找到 \(y\) 后，\(y\) 的前驱 \(w\) 则只需 \(O(1)\) 时间，在用 $O(1) $时间更新 \(w, x, y\) 的前驱、后继。若\(x == MAXIMUM\)，则利用 \(O(\lg{n})\) 时间找 \(x\) 的前驱，同理。
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删除：和插入类似。
旋转不影响前驱、后继的指针。
14.2-2
能否在不影响红黑树任何操作的渐进性能的前提下，将结点的黑高作为书中结点的一个性能来维护？说明如何做，如果不能，请说明理由。如何维护结点的深度？
树为空时，黑高为\(0\)；
只有根节点时，黑高为\(1\)；
在插入和删除过程中，重新着色时，修改黑高；
