算法导论14-1

读书笔记

本小节介绍了红黑树的改进版本，为每个节点新增一个属性，用于记录当前子树的数量；

新增属性\(x.size\)是由左子树加右子树再加本身组成，即\(x.size = x.left.size + x.right.size + 1\)；

维护数量属性

对红黑树的基本操作过程中，需要持续维护\(size\)属性；

插入

删除

获取第\(i\) 小的元素

OS-SELECT(x, i)
r = x.left.size + 1
if i == r
	return x
else if i < r
	return OS-SELECT(x.left, i)
else 
	return OS-SELECT(x.right, i - r)

获取指定元素的次序

OS-RANK(T, x)
r = x.left.size + 1
y = x
while y != T.root
	if y == y.p.right
		r = r + y.p.left.size + 1
	y = y.p
return r

课后习题

14.1-1

对于图\(14-1\)中的红黑树\(T\)，说明执行\(OS-SELECT(T.root, 10 )\)的过程。

过程依次是：

graph LR id1((26)) --> id2((17)) --> id3((21)) --> id4((19)) --> id5((20))

14.1-2

对于图\(14-1\)中的红黑树\(T\)和关键字\(x.key\)为\(35\)的节点\(x\)，说明执行\(OS-RANK(T, x)\)的过程。

可以在图中右下角的位置找到元素\(35\)，在进入循环之前，\(r=1 \text{且y指向元素35}\)，循环的终止条件是\(\text{y指向根节点}\)；

第一次循环结束，\(y\)指向元素\(38\)；

第二次循环结束，\(r=3\)，\(y\)指向元素\(30\)；

第三次循环结束，\(r=3\)，\(y\)指向元素\(41\)；

第四次循环结束，\(r=16\)，\(y\)指向元素\(26\)；

14.1-3

写出\(OS-SELECT\)的非递归版本。

//todo

14.1-4

写出一个递归过程\(OS-KEY-RANK(T, k)\)，以一棵顺序统计树\(T\)和一个关键字\(k\)作为输入，要求返回在由\(T\)表示的动态集合中的秩。假设\(T\)的所有关键字都不相同。

OS-KEY-RANK(T, k)
r = k.left.size + 1
if y == y.p.right && y != T.root
	r += OS-KEY-RANK(T, k.p)
return r

14.1-5

给定\(n\)个元素的顺序统计树中的一个元素\(x\)和一个自然数\(i\)，如何在\(O(\lg{n})\)的时间内确定\(x\)在该树线性序中的第\(i\)个后继？

先确定元素\(x\)的秩，然后确定其相对后继节点的秩，最后根据相对后继节点的秩查找元素。

14.1-6

在\(OS-SELECT\)或\(OS-RANK\)中，注意到无论什么时候引用节点的\(size\)属性都是为了计算一个秩。相应地，假设每个节点都存储它在以自己为根的子树的秩。是说明在插入和删除时，如何维护这个信息。（注意，这两种操作都可能引起旋转。）

//todo

14.1-7

说明如何在\(O(n\lg{n})\)时间内，利用顺序统计树对大小为\(n\)的数组中的逆序对（见思考题2-4）进行计数。

//todo