算法导论13-4

读书笔记

本小节介绍了红黑树的删除操作，这是红黑树的基础操作中比较复杂的一种；

和红黑树的插入的基本思想一致，红黑树的删除也是先将元素普通地删除，然后在调整二叉树使其符合红黑树的性质。

红黑树的元素普通删除

RB-TRANSPLANT(T, u, v)
if u.p == T.nil
	T.root = v
else if u == u.p.left
	u.p.left = v
else 
	u.p.right = v
v.p = u.p

RB-DELETE(T, z)
y = z
y-original-color = y.color
if z.left = T.nil
	x = z.right
	RB-TRANSPLANT(T, z, z.right)
else if z.right == T.nil
	x = z.left
	RB-TRANSPLANT(T, z, z.left)
else 
	y = TREE-MINIMUM(z.right)
	y-original-color = y.color
	x = y.right
	if y.p == z
		x.p = y
	else 
		RB-TRANSPLANT(T, y, y.right)
		y.right = z.right
		y.right.p = y
	RB-TRANSPLANT(T, z, y)
	y.left = z.left
	y.left.p = y
	y.color = z.color

if y-original-color == BLACK
	RB-DELETE-FIXUP(T, x)

红黑树的删除和二叉树的删除，基本操作也是一致的；

如果节点\(z\)只有一个子节点，则该子节点替代节点\(z\)的位置；

如果节点\(z\)有两个子节点，则找到后继结点代替节点\(z\)的位置；

由于删除了节点，所以当前二叉树可能无法保持红黑树的性质，所以必须对当前二叉树进行调整；

但是这两者又有一些区别，如书中所述：

红黑树删除元素后调整

while x != T.root and x.color == BLACK
	if x == x.p.left
		w = x.p.right
		if w.color == RED
			w.color = BLACK
			x.p.color = RED
			LEFT-ROTATE(T, x.p)
			w = x.p.right
		else if w.left.color == BLACK and w.right.color == BLACK
			w.color = RED
			x = x.p
		else 
			if w.right.color == BLACK
				w.left.color = BLACK
				w.color = RED
				RIGHT-ROTATE(T, w)
				w = x.p.right
			w.color = x.p.color
			x.p.color = BLACK
			w.right.color = BLACK
			LEFT-ROTATE(T, x.p)
			x = T.root
     else 
    	// 和上述操作相似，只是左支变成了右支

x.color = BLACK

课后习题

13.4-1

在执行\(RB-DELETE-FIXUP\)之后，证明：树根一定是黑色的。

上述四种情况，能够终止循环的只有第\(2,4\)种情况；

第\(2\)情况：

指针最多上升\(O(\lg{n})\)次，也就是到达根节点，然后最后过程的最后一句话执行后，会将根节点置为黑色；

第\(4\)种情况：

这种情况在最后直接将\(x\)置为根节点，同样会置为黑色；

13.4-2

在\(RB-DELETE\)中，如果\(x\)和\(x.p\)都是红色，证明：可以通过调用\(RB-DELETE-FIXUP(T, x)\)来恢复性质\(4\)。

由于\(x\)为红色，所以不会执行循环，会直接将其置为黑色；

13.4-3

在练习\(13.3-2\)中，将关键字\(41,38,31,12,19,8\)连续插入一棵初始的空树中，从而获得一棵红黑树。请给出从该树中连续删除关键字\(8,12,19,31,38,41\)后的红黑树。

下面的图不贴了；

13.4-4

在\(RB-DELETE-FIXUP\)代码中的那些行中，可能会检查或修改哨兵\(T.nil\)？

获取叔节点的地方。

13.4-5

在图\(13-7\)的每种情况中，给出所示子树的根节点至每棵子树\(\alpha,\beta,...,\zeta\)之间的黑节点个数，并验证它们在转换之后保持不变。当一个节点的\(color\)属性为\(c\)或\(c'\)时，在计数中用记号\(count(c)\)或\(count(c')\)来表示。

略。

13.4-6

\(Skelton\)和\(Baron\)教授担心在\(RB-DELETE-FIXUP\)的情况\(1\)开始时，节点\(x.p\)可能不是黑色的。如果这两位教授是对的，则第5~6行就是错的。证明：\(x.p\)在情况\(1\)开始时必是黑色的，从何说明这两位教授没有担心的必要。

在情况\(1\)中，叔节点是红色的，这代表着\(x.p\)必是黑色；

因为如果\(x.p\)是红色的，则叔节点应该是黑色；

13.4-7

假设用\(RB-INSERT\)将一个节点\(x\)插入一棵红黑树，紧接着又用\(RB-DELETE\)将它从树中删除。结果红黑树和初始的红黑树是否一样？证明你的答案？

不一样；

初始红黑树：

插入元素后：

删除元素后：

可以看到元素41及其子树着色有一些变化；