算法导论13-3
读书笔记
本小节介绍了向红黑树插入元素的过程：
- 将新元素普通地插入二叉树；
- 调整二叉树使其符合红黑树的性质；
插入元素到二叉树
RB-INSERT(T, z)
y = T.nil
x = T.root
while x != T.nil
y = x
if z.key < x.key
x = x.left
else
x = x.right
z.p = y
if y == T.nil
T.root = z
else if z.key < y.key
y.left = z
else
y.right = z
z.left = T.nil
z.right = T.nil
z.color = RED
RB-INSERT-FIXUP(T, z)
这和二叉树的插入没有什么太大不同，区别主要在于：
- \(TREE-INSERT\)内的所有\(NIL\)都被\(T.nil\)代替；
- 将插入后的元素的左右子节点置为\(T.nil\);
- 将插入后的元素标记为红色；
- 最后调用\(RB-INSERT-FIXUP\)调整二叉树使其符合红黑树的性质。
调整二叉树
如图\((a)\)中所示，我们假设这是在调用\(RB-INSERT-FIXUP\)之前的情况，假设元素\(z\)被插入到了左支；
在对三种情况的调整时，其指导思想是先找到不符合红黑树性质的最小子树，然后通过不同措施使该子树符合红黑树性质，然后重复这一步骤，直至全部符合红黑树性质；
如图\((a)\)，不符合红黑树性质的最小子树是以\(7\)为根的子树；
在图\((b)\)，以\(7\)为根的子树符合了红黑树性质，但是以\(2\)为根的子树不符合红黑树性质；
在图\((c)\)，以\(2\)为根的子树符合了红黑树性质，但是以\(7\)为根的子树不符合红黑树性质；
在图\((d)\)，以\(7\)为根的子树符合红黑树性质，调整完毕；
伪代码如下：
RB-INSERT-FIXUP(T, z)
while z.p.color == RED
if z.p == z.p.p.left
y = z.p.p.right
if y.color == RED
z.p.color = BLACK
y.color = BLACK
z.p.p.color = RED
z = z.p.p
else
if z == z.p.right
z = z.p
LEFT-ROTATIE(T, z)
z.p.color = BLACK
z.p.p.color = RED
RIGHT-ROTATE(T, z.p.p)
else
// 操作与上述操作相似，只是左右相反
T.root.color = BLACK
课后习题
13.3-1
在\(RB-INSERT\)的第\(16\)行，将新插入和节点着为红色。注意到，如果将\(z\)着为黑色，则红黑树的性质\(4\)就不会被破坏。那么为什么不选择将\(z\)着为黑色呢？
这样性质\(5\)就会被破坏，维护性质\(4\)的代价要小于维护性质\(5\)；
13.3-2
将关键字\(41,38,31,12,19,8\)连续地插入一棵初始为空的红黑树之后，试画出该结果树。
略。
13.3-3
假设图\(13-5\)和图\(13-6\)中子树\(\alpha,\beta,\gamma,\delta\)和\(\epsilon\)的黑高都是\(k\)。给每张图中的每个节点标上黑高，以验证图中所示的转换能保持性质\(5\)。
略。
13.3-4
\(TEACH\)教授担心\(RB-INSERT-FIXUP\)可能将\(T.nil.color\)设为\(RED\)，这时，当\(z\)为根时，第\(1\)行的测试就不会让循环终止。通过讨论\(RB-INSERT-FIXUP\)永远不会将\(T.nil.color\)设置为\(RED\)，来说明这位教授的担心是没有必要的。
通过查看伪代码，对节点着为红色的只有\(z\)的祖父节点；
13.3-5
考虑一棵用\(RB-INSERT\)插入\(n\)个节点而成的红黑树。证明：如果\(n>1\)，则该树至少有一个红节点。
当\(n=2\)，当插入第\(2\)个元素时，这个元素必定被着为红色。
13.3-6
说明如果红黑树的表示不提供父指针，应当如何有效地实现\(RB-INSERT\)。
二叉树搜索父节点；
