算法导论12-2

读书笔记

本小节介绍了二叉搜索树的查询操作，包括\(SEARCH, MINIMUM,MAXIMUM, SUCCESSOR, PREDECESSOR\)这\(5\)个操作，这五个操作均可以在\(O(h)\)，\(h\)是当前二叉树的高度。

搜索

递归实现：

TREE-SEARCH(x, k)
if x == NIL or k == x.key
	return x
if k < x.key
	return TREE-SEARCH(x.left, k)
else 
	return TREE-SEARCH(x.right, k)

迭代实现：

ITERATIVE-TREE-SEARCH(x, k)
while x != NIL and key != x.key
	if k < x.key
		x = x.left
	else 
		x = x.right
return x

最小和最大

获取最小值：

TREE-MINIMUM(x)
while x.left != NIL
	x = x.left
return x

最左子节点就是最小值。

获取最大值：

TREE-MAXIMUM(x)
while x.right != NIL
	x = x.right
return x

最右子节点就是最大值。

后继和前驱

后继节点：

TREE-SUCCESSOR(x)
if x.right != NIL
	return TREE-MINIMUM(x.right)
y = x.p
while y != NIL and x == y.right
	x = y
	y. = y.p
return y

上述算法为中序遍历存在；

一个节点的后继节点有两种情况：

1. 当前节点\(x\)存在右子树，则后继节点就是右子树中的最小值。
2. 当前节点不存在右子树，则后继节点为某个祖先节点，此祖先节点的左子树包含当前节点。

前驱节点：

一个节点的前驱节点有两种情况：

1. 当前节点存在左子树，则前驱节点就是左子树中的最大值。
2. 当前节点不存在左子树，则前驱节点为某个祖先节点，此祖先节点的右子树包含当前节点。

课后习题

12.2-1

略。

12.2-2

写出\(TREE-MINIMUM\)和\(TREE-MAXIMUM\)的递归版本。

TREE-MINIMUM(x)
 if x.left == NIL
 	return x
 TREE-MINIMUM(x.left)

TREE-MAXIMUM(x)
if x.right == NIL
	return x
TREE-MAXIMUM(x.right)

12.2-3

写出过程\(TREE-PREDECESSOR\)的伪代码。

TREE-PREDECESSSOR(x)
if x.left != NIL
	return TREE-MAXIMUM(x.left)
y = x.p
while y != NIL and x == y.left
	x = y
	y = y.p
return y

12.2-4

\(Bunyan\)教授认为他发现了要给二叉搜索树的重要性质。假设在一颗二叉搜索树中查找一个关键字\(k\)，查找结束于一个树叶。考虑三个集合：\(A\)为查找路径左边的关键字集合；\(B\)为查找路径上的关键字集合；\(C\)为查找路径右边的关键字集合。\(Bunyan\)教授声称：任何\(a\in A, b \in B, c\in C\)，一定满足\(a\le b\le c\)。请给出该教授这个论断的一个最小可能的反例。

查找节点20，则集合A={17}, 集合B={15,18,29},集合C={φ}，并不满足集合A中的任意元素<=B中的。

12.2-5

证明：如果一颗二叉搜索树中的一个节点有两个孩子，那么它的后继没有左孩子，它的前驱没有右孩子。

如果当前节点的后继有左孩子，那就代表有一个节点比该后继节点小，但是实际上这个节点应该是当前节点，这就导致了二叉搜索树的错误。前驱节点没有右孩子也是一样。

12.2-6

考虑一颗二叉搜索树\(T\)，其关键字互不相同。证明：如果\(T\)中一个节点\(x\)的右子树为空，且\(x\)有一个后继\(y\)，那么\(y\)一定是\(x\)的最底层祖先，并且其左孩子也是\(x\)的祖先。（注意：每个节点都是它自己的祖先。）

前驱节点：

一个节点的前驱节点有两种情况：

1. 当前节点存在左子树，则前驱节点就是左子树中的最大值。
2. 当前节点不存在左子树，则前驱节点为某个祖先节点，此祖先节点的右子树包含当前节点。

12.2-7

对于一颗有\(n\)个节点的二叉搜索树，有另一种方法来实现中序遍历，先调用\(TREE-MINIMUM\)找到这棵树中的最小元素，然后再调用\(n-1\)次的\(TREE-SUCCESSOR\)。证明：该算法的运行时间为\(\theta(n)\)。

对\(n\)个元素进行遍历，无论整出什么幺蛾子，时间复杂度都在\(\theta(n)\)。

12.2-8

证明： 在一棵高度为\(h\)的二叉搜索树中，不论从哪个节点开始，\(k\)次连续的\(TREE-SUCCESSOR\)调用所需时间为\(O(k+h)\)。

复杂度里有一个\(k\)是因为调用了\(k\)次，有一个\(h\)是因为需要向上找到祖先节点；

12.2-9

设\(T\)是一颗二叉搜索树，其关键字互不相同；设\(x\)是一个叶节点，\(y\)为其父节点。证明：\(y.key\)或者是\(T\)树中大于\(x.key\)的最小关键字，或者是\(T\)树中小于\(x.key\)的最大关键字。

显然如此。