算法导论9-3

读书笔记

本小节介绍了一种上界为\(O(n)\)的选择算法，该算法过程如下：

1. 先对将输入数组以每组5个元素分组，可能会剩余一组不足5个元素的小组。
2. 对每个小组进行插入排序。
3. 对每个小组的中位数，进行递归操作，也就是重复第1,2步骤，直至找到整个数组的中位数\(x\)。
4. 使用在第三步找出的中位数\(x\)对数组进行分区，比\(x\)小的在左边，比\(x\)大的在右边。
5. 当前\(x\)的下标代表它是第几小的数字，如果输入的\(i\)小于\(x\)的下标，则递归调用左支；如果输入的\(i\)大于\(x\)的下标，则递归调用右支；

对其时间复杂度为什么是\(O(n)\)的解释如下：

更加详细的解释请查看第三版第123页。

课后习题

9.3-1

在算法\(SELECT\)中，输入元素被分为每组\(5\)个元素。如果它们被分为每组\(7\)个元素，该算法仍然会是线性时间吗？证明： 如果分成每组\(3\)个元素，\(SELECT\)的运行时间不是线性的。

顺着书上的过程推导，可知\(7\)个元素仍然是线性时间，但是\(3\)个元素不是线性时间。

详细的过程请看这里 。

9.3-2

分析\(SELECT\)，并证明： 如果\(n\ge 140\)，则至少\(\lceil n/4 \rceil\)个元素大于中位数的中位数\(x\)，至少\(\lceil n/4 \rceil\)个元素小与\(x\)？

一半的一半

9.3-3

假设所有元素都是互异的，说明在最坏情况下，如何才能使快速排序的运行时间为\(O(n\lg{n})\)。

使主元为中位数。

下面的题目有些浪费时间，等有时间了在做，先跳过看下一章节。