算法导论9-2

读书笔记

本小节介绍一种选择算法，用来选择数组中第\(i\)小的元素；

\(RANDOMIZED-SELECT\)以快速排序为模型，时间复杂度为\(\theta(n)\)。

伪代码如下：

RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i)
if p == r
	return A[p]
q = RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)
k = q - p + 1
if i == k
	return A[q]
else if i < k
	return RANDOMIZED-SELECT(A, p, q - 1, i)
else return RANDOMIZED-SELECT(A, q + 1, r, i - k)

关于\(RANDOMIZED-PARTITION\)请查阅第七章快速排序的内容，这个函数的作用是根据随机数对给定范围的数组分区，比随机数大的在右边，比随机数小的在左边。

对伪代码的解读：

1. 如果指定范围内的数组只有一个元素，则返回这一元素。
2. 然后通过\(RANDOMIZED-PARTITION\)，获取随机数在数组中的次序。
3. 对比这一次序，符合则返回这一元素。
4. 然后根据次序和\(i\)的比较，递归执行左枝或者右枝；

对时间复杂度的分析过程看的头疼，略。

课后习题

9.2-1

证明：在\(RANDOMIZED-SELECT\)中对长度为\(0\)的数组，不会进行递归调用。

答案显而易见，空集不会调用函数。

9.2-2

请讨论：指示随机变量\(X_k\)和\(T(max(k-1,n-k))\)是独立的。

略。

9.2-3

给出\(RANDOMIZED-SELECT\)的一个基于循环的版本。

public int randomnized_select_loop(int[] a, int start, int end, int i) throws Exception{
		if(i > a.length || i <= 0)
			throw new Exception("Invalid i!");
		
		if(a.length == 1)
			return a[0];
		
		int mid = qs.partition_Randomized(a, start, end);
		while(mid + 1 != i){
			if(mid + 1 < i)	//search right
				mid = qs.partition_Randomized(a, mid + 1, end);
			else	//search left
				mid = qs.partition_Randomized(a, start, mid - 1);
		}
		return a[mid];
	}

9.2-4

假设用\(RANDOMIZED-SELECT\)去选择数组\(A=<3,2, 9, 0, 7,5,4,8,6,1>\)的最小元素，给出能够导致\(RANDOM-SELECT\)最坏情况发生的一个划分序列。

也就是快速排序中最不平衡的情况，\(<0,1,2,3,4,5,6,7,8,9>\)。