算法导论8-1
读书笔记
本小节通过决策树模型，说明了一个比较排序算法的下界为\(\Omega(n\lg{n})\)；
课后习题
8.1-1
在一棵比较排序算法的决策树中，一个叶节点可能的最小深度是多少？
最好情况就是当前数组是已经排好序的，需要比较\(n-1\)次；深度为\(n\)
8.1-2
不用斯特林公式，给出\(\lg{(n!)}\)的渐近确界。利用\(A.2\)节中介绍的技术来求累加和\(\sum^n_{k=1}\lg{k}\) 。
上界：
\[\begin{aligned}
\lg{n!} &= \sum_{k=1}^n \lg{k} \\[2ex]
&= \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}}\lg{k} + \sum_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \lg{k}\\[2ex]
&\le \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \lg{\frac{n}{2}} + \sum_{k=\frac{n}{2}+1}^{n}\lg{n}\\[2ex]
&= \frac{n}{2}\lg{\frac{n}{2}} + n\lg{n}\\[2ex]
&= O(n\lg{n})
\end{aligned}
\]
下界：
\[\begin{aligned}
\lg{n!} &= \sum_{k=1}^n \lg{k} \\[2ex]
&= \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}}\lg{k} + \sum_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} \lg{k}\\[2ex]
&\ge \frac{n}{2}\lg{2} + \frac{n}{2}\lg{\frac{n}{2}}\\[2ex]
&= \Omega(n\lg{n})
\end{aligned}
\]
证毕。
8.1-3
证明：对\(n!\)种长度为\(n\)的输入中的至少一半，不存在能达到线性运行时间的比较排序算法。如果只要求对\(\frac{1}{n}\)的输入达到线性时间呢？\(\frac{1}{2^n}\)呢？
比较算法的时间复杂度无论如何都不是线性相关的；
8.1-4
假设现有一个包含\(n\)个元素的待排序序列。该序列由\(\frac{n}{k}\)个子序列组成，每个子序列包含\(k\)个元素。一个给定子序列中的每个元素都小于其后继子序列中的所有元素，且大于其前驱子序列中的每个元素。因此，对于这个长度为\(n\)的序列的排序转化为\(\frac{n}{k}\)个子序列中的\(k\)个元素的排序。试证明：这个排序问题中所需比较次数的下界是\(n\lg{k}\)。（提示：简单地将每个子序列的下界进行合并是不严谨的。）
一共有\(\frac{n}{k}\)个子序列，单个子序列的比较次数为\(\Omega(k\lg{k})\)，所以总的比较次数为\(\Omega(n\lg{k})\)。
