算法导论7-2

读书笔记

本小节对快速排序在三种情况下的性能进行了分析，我自觉没有书上说得好，所以直接上图片。

最好和最坏情况

平均情况

课后习题

7.2-1

利用代入法证明：正如7.2节开头提到的那样，递归式\(T(n) = T(n-1) + \theta(n)\)的解为\(T(n)=\theta(n^2)\)。

易证，略

7.2-2

当数组\(A\)的所有元素都具有相同值时，\(QUICKSORT\)的时间复杂度是什么？

属于最坏的情况，时间复杂度为\(\theta(n^2)\)；

7.2-3

证明：当数组\(A\)包含的元素不同时，并且是按降序排列的时候，\(QUICKSORT\)的时间复杂度为\(\theta(n^2)\)。

显而易见，当数组\(A\)按降序排列时，在划分左右子数组时，是\(n-1\)和\(0\)的情况，属于最坏情况，所以时间复杂度为\(\theta(n^2)\)；

7.2-4

银行一般会按照交易时间来记录某一账户的交易情况。但是，很多人却喜欢收到银行对账单是按照支票号码的顺序来排列的。这是因为，人们通常都是按照支票号码的顺序来开出支票的，而商人而通常都是根据支票编号的循序兑付支票。这一问题是将按交易时间排序的序列转换成按支票号排序的序列，它实质上是对一个几乎有序的输入序列进行排序的问题。请证明：在这个问题上，\(INSERTION-SORT\)的性能往往要优于\(QUICKSORT\)?

由于数组\(A\)是接近排好序的数组，所以在进行插入排序时，有许多元素根本不会移动，减少了许多的比较和移动；

7.2-5

假设快速排序的每一层所做的划分的比例都是\(1-\alpha:\alpha\)，其中\(0<\alpha\le \frac{1}{2}\)且是一个常数。试证明：在相应的递归树中，叶节点的最小深度大约是\(-\frac{\lg{n}}{\lg{\alpha}}\)，最大深度大约是\(-\frac{\lg{n}}{\lg{(1-\alpha)}}\)(无需考虑整数舍入问题)。

由于\(\alpha\)是一个常数，所以令\(\alpha = \frac{1}{2}\)，左右两个子数组长度相等，这是最好的情况，最小深度和最大深度都是\(\lg{n}\)；