算法导论7-1

读书笔记

本小节介绍了大名鼎鼎的快速排序，快速排序在最坏的情况下的时间复杂度为\(\theta(n^2)\)；在元素互异的情况下，期望时间复杂度为\(O(n\lg{n})\)。快速排序使用了分治思想，分治过程如下：

分解

数组\(A[p..r]\)被划分为两个（可能为空）的子数组\(A[p..q-1]\)和\(A[q+1..r]\)，是的\(A[p..q-1]\)中的每个元素都小于等于\(A[q]\)，而\(A[q]\)也小于等于\(A[q+1..r]\)中的每个元素。其中，计算下标\(q\)也是划分过程的一部分。

解决

通过递归调用快速排序，对子数组\(A[p..q-1]\)和\(A[q+1..r]\)进行排序。

合并

因为子数组都是原址排序的，所以不需要合并操作：数组\(A[p..r]\)已经有序。

在别的关于快速排序的说明中，有着基准值这一概念，此处的基准值直接选定了子数组的最后一个元素。

伪代码

QUICKSORT(A, p, r)
if p < r 
	q = PARTITION(A, p, r)
	QUICKSORT(A, p, q - 1)
	QUICKSORT(A, q + 1, r)
	
PARTITION(A, p, r)
x = A[r]
i = p - 1
for j = p to r - 1
	if A[j] <= x 
		i = i + 1
		exchange A[i] with A[j]
exchange A[i+1] with A[r]
return i + 1

在上述伪代码中变量\(i\)用于存储左右两个子数组的分界点的坐标。

课后习题

7.1-1

参照图7-1的方法，说明\(PARTITION\)在数组\(A=<13, 19, 9, 5,12,8,7,4,21,2,6,11>\)上的操作过程。

略

7.1-2

当数组\(A[p..r]\)中的元素都相同时，\(PARTITION\)返回的\(q\)值是什么？修改\(PARTITION\)，使得当数组\(A[p..r]\)中的所有元素都相同时，\(q=\lfloor (p+r)/2 \rfloor\)。

第一小问，\(q=r\)；

第二小问：

PARTITION(A, p, r)
x = A[(p+r)/2]
i = p - 1
for j = p to r - 1
	if A[j] <= x 
		i = i + 1
		exchange A[i] with A[j]
exchange A[i+1] with A[r]
return i + 1

7.1-3

请简要地证明：在规模为\(n\)的子数组上，\(PARTITION\)的时间复杂度为\(\theta(n)\)。

这是显而易见的，对一个无序的数组划分左右子数组，一定需要逐个比较，所以时间复杂度为\(\theta(n)\)。

7.1-4

如何修改\(QUICKSORT\)，使得它能够以降序进行排序？

QUICKSORT(A, p, r)
if p < r 
	q = PARTITION(A, p, r)
	QUICKSORT(A, p, q - 1)
	QUICKSORT(A, q + 1, r)
	
PARTITION(A, p, r)
x = A[r]
i = p - 1
for j = p to r - 1
	if A[j] >= x 
		i = i + 1
		exchange A[i] with A[j]
exchange A[i+1] with A[r]
return i + 1