算法导论6-4

读书笔记

之前说过降序数组都是最大堆，但是反之不然，本小节讲述的是从最大堆中获取降序数组的过程；

伪代码如下：

HEAPSORT(A)
	BUILD-MAX-HEAP(A)
	for i = A.length downto 2
		exchange A[1] with A[i]
		A.heap-size = A.heap - 1
		MAX-HEAPIFY(A,1)

通过不断获取剩余数组中的最大值来获取排序数组；

课后习题

6.4-1

参照图6-4的方法，说明\(HEAPSORT\)在数组\(A=<5,13,2,25,7,17,20,8,4>\)上的操作过程。

根据伪代码足以操作，略。

6.4-2

试分析在使用下列循环不变量时，\(HEAPSORT\)的正确性：

在算法的第2~5行for循环每次迭代开始时，子数组\(A[1..i]\)是一个包含了数组\(A[1..n]\)中第\(i\)个小元素的最大堆，而子数组\(A[i+1..n]\)包含了数组\(A[1..n]\)中已排除的\(n-i\)个最大元素？

子数组\(A[1..i]\)是一个包含了数组\(A[1..n]\)中第\(i\)个小元素的最大堆:

在上一次迭代最后调用了\(MAX-HEAPIFY(A, 1)\)，将\(A[1..n]\)变成了一个最大堆；

子数组\(A[i+1..n]\)包含了数组\(A[1..n]\)中已排除的\(n-i\)个最大元素:

每次迭代都会选出当前剩余数组中的最大值，迭代次数为\(n-i\)，所以上述语句成立。

6.4-3

对于一个升序排列的包含\(n\)个元素的有序数组\(A\)来说，\(HEAPSORT\)的时间复杂度是多少？如果\(A\)是降序呢？

\(HEAPSORT\)将会选出一个降序的数组，所以当一个数组为升序时，处于最坏情况，时间复杂度为\(\Omega(n\lg{n})\)；

当一个数组为降序时，时间复杂度为\(\theta(n)\)；

6.4-4

证明： 在最坏情况下， \(HEAPSORT\)的时间复杂度是\(\Omega(n\lg{n})\)。

最坏情况也就是所有情况都走一遍，首先\(BUILD-MAX-HEAP\)的时间复杂度为\(O(n\lg{n})\)，

其次下面的循环为\(O(n\lg{n})\)，还有一些细节，也就不证明了，两者相加时间复杂度为\(\Omega(n\lg{n})\)