算法导论5-2

读书笔记

本小节分为两部分，第一部分用复杂的语言讲解期望的计算方法，即值和概率乘积之和；第二部分使用第一部分讲述的方法计算期望；

有一个值得注意的地方，$\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{n}} = \ln^n + O(1)$的证明过程可以在附录A的A.2中找到。

$$\sum_{k=1}^n \ge \int_1^{n+1} \frac{dx}{x} = \ln^{n+1}$$

课后习题

5.2-1

在HIRE-ASSISTANT中，假设应聘者以随机顺序出现，你正好雇佣一次的概率是多少？正好雇佣$n$次的概率是多少？

雇佣一次的概率是$\frac{1}{n}$

雇佣$n$次的概率是$\frac{1}{n!}$

5.2-2

在HIRE-ASSISTANT中，假设应聘者以随机顺序出现，你正好雇佣两次的概率是多少？

雇佣两次的概率是$\frac{2^n -n - 1}{n!}$

5.2-3

利用指示器随机变量来计算掷$n$个色子之和的期望值。

单次掷色子的期望是$\frac{7}{2}$，$n$次掷色子的期望是$\frac{7}{2}n$

5.2-4

利用指示器随机变量来解如下的帽子核对问题：$n$位顾客，他们每个人给餐厅对帽子的服务生一顶帽子。服务生以随机顺序将帽子归还给顾客。请问拿到自己帽子的客户的期望是多少？

过程如下：

$$\begin{aligned} & \frac{1}{n} + \frac{n-1}{n}* \frac{1}{n - 1} + ... +\frac{2}{n}*\frac{1}{2} + \frac{1}{n}* \frac{1}{1}\\[2ex] & = n * \frac{1}{n} \\[2ex] & = 1 \end{aligned}$$

5.2-5

设$A[1..n]$是由$n$个不同数构成的数列。如果$i<j$且$A[i]> A[j]$，则称$(i, j)$为$A$的一个逆序对。假设$A$的元素构成$<1,2, ..., n>$上的一个均匀随机排列。请用指示器随机变量来计算其中逆序对的数目期望。

任选两个元素是逆序对的概率是$\frac{1}{2}$，一共可以选出$C_n^2$个组合，所以期望为$\frac{C_n^2}{2} = \frac{n(n-1)}{4}$