【DP】BZOJ1564- [NOI2009]二叉查找树(!!)

【题目大意】

已知一个treap上每个节点的键值、权值和访问频率。现在可以修改一些节点的权值（可以修改为实数），需要付出k（k为定制）的额外代价。一个treap的总代价=∑（每个节点的访问频率*深度）+额外代价。

*有趣的结论：键值、权值一旦确定，treap是唯一确定的。

【思路】

首先key值是不会变更的，我们按照key值排序，就是按照中序遍历排序。f[i][j][w]代表由i~j组成的子树且每个点的权值都大于等于w的最小总代价。

枚举区间i、j中作为根的k。如果如果wk>=w，就可以不用改根，fi[l][r][k]=min(fi[l][i-1][wk]+fi[i+1][r][wk]+sm[l~i-1]+sm[i+1~r])；还可以一定改根，fi[l][r][k]=min(fi[l][i-1][k]+fi[i+1][r][k]+kk+sm[l~i-1]+sm[i+1~r])。

注意一下，一开始我的想法是“f[i][j][w]代表由i~j组成的子树且每个点的权值都大于w的最小总代价”，但是我没有看见是可以修改为实数的，所以只能用大于等于。

*关注DP的初始值和顺序，这部分详解见代码注释。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath> 
#include<vector> 
using namespace std;
const int MAXN=70+5;
const int INF=0x7fffffff;
struct node
{
    int data,weight,frequency;
    bool operator < (const node& x) const
    {
        return data<x.data;
    }
}a[MAXN];
int n,K,hash[MAXN];
int f[MAXN][MAXN][MAXN];//f[i][j][w]由i~j组成的子树且每个点的权值都大于等于w的最小总代价 

void init()
{
    scanf("%d%d",&n,&K);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i].data); 
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i].weight),hash[i]=a[i].weight; 
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i].frequency);

    sort(hash+1,hash+n+1);
    sort(a+1,a+n+1);
    int d=unique(hash+1,hash+n+1)-(hash+1);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i].weight=lower_bound(hash+1,hash+d+1,a[i].weight)-hash;
    }
    for (int i=2;i<=n;i++)
        a[i].frequency+=a[i-1].frequency;//求出前缀和
        
}

void dp()
{
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for (int i=1;i<=n+1;i++)
        for (int w=0;w<=n;w++) f[i][i-1][w]=0;
    //这个初始化注意一下(!)，下方(i=k/j=k)时用到 
    for (int w=n;w;w--)//根据转移条件，显然w比较大的要先球出来，所以由大到小，放在最外层的循环 
        for (int i=n;i;i--)
            for (int j=i;j<=n;j++) 
                for (int k=i;k<=j;k++)
                {
                    if (a[k].weight>=w) f[i][j][w]=min(f[i][j][w],f[i][k-1][a[k].weight]+f[k+1][j][a[k].weight]+(a[j].frequency-a[i-1].frequency));
                    //因为新增根节点后，每个节点的深度都+1,所以要加上访问的频率和 
                    //因为可以取实数，所以后面a[k].weight不需要+1，下面的w也是同理 
                    f[i][j][w]=min(f[i][j][w],f[i][k-1][w]+f[k+1][j][w]+(a[j].frequency+K-a[i-1].frequency));
                }
    int ans=INF;
    for (int i=0;i<=n;i++)
        ans=min(ans,f[1][n][i]);
    printf("%d",ans); 
}

int main()
{
    init();
    dp();
    return 0; 
}