【SAM】BZOJ3998-弦论

【题目大意】

给出一个字符串，求第k大的子串。（输入1表示子串可重复，0表示不可重复）

【思路】

显然，k大子串是后缀自动机的经典题型，可以利用后缀自动机的性质来解决。对于字符串

[前铺1]"abcbc"，我们可以画出它的后缀自动机，如下图：

Pre树类似于AC自动机中的fail树，即将pre方向形成一棵树。对于上图，它的pre树如下：

 

[前铺2]考虑字符串s的任意非空子串t。我们称终点集合right(t)为：s中所有是t出现位置终点的集合。例如：对于字符串ATCGTCGT来说，所有的CG的末尾位置的集合是{4,7}，也就是说right(“CG”)={4,7}。如果两个子串t_1和t_2终点集合一致，即right(t_1)=right(t_2)，那么称它们为“终点等价”。因此，所有s的非空子串可以根据终点等价性分成若干类。

例如：对于字符串abcbc来说，它的所有子串构成的集合可以按照上述等价关系进行如下划分:{{a},{b},{c,bc},{ab},{cb,bcb,abcb},{abc},{cbc,bcbc,abcbc}}。

 【知识点】pre树和right集合之间的关系

 ①除S以外的每个节点代表一个终点等价类。

 ②每个节点对应的等价类的right集合大小等于以它为根的子树的叶子节点的数量。

 right等价类:

right{a}={1} 

right{b}={2,4}

right{c,bc}={3,5}

right{ab} ={2}

right{cb,bcb,abcb} ={4}

right{abc} ={3}

right{cbc,bcbc,abcbc}={5}

我们用s[i]表示i所在的等价类的right集合大小，等于在pre树上以它为根的子树的叶子节点的数量。当sign=1时，s[i]=∑s[j](j为i在pre树上的孩子)；当sign=0时，s[i]=1。对于sign=1的情况，显然孩子节点的step值大于父亲，所以我们只需要按照step值进行拓扑排序，从后往前进行累加即可得到s[i]的值。

对于叶子节点（叶子节点一定是非后添加的节点，即原字符串中产生的，图中的水平一行），初值在extend中产生：

1 s[np]=1;

假设q[i]为拓扑排序后的序列，则如下累加即可：

1         for(int i=tot;i>=1;i--)
2         {
3             if(sign==1)    s[pre[q[i]]]+=s[q[i]];
4                 else s[q[i]]=1;
5         }
6         s[1]=0;//不要忘了根节点是虚点

 【解题过程】

①根据上述知识点中的性质，如何进行拓扑排序呢？

1 for(int i=1;i<=tot;i++)
2             v[step[i]]++;//累加每个step[i]的个数 
3         for(int i=1;i<=tot;i++)
4             v[i]+=v[i-1];//v[i]表示按step值从小到大的顺序排序后，step值为i的数在q数组中最右端的下标 
5         for(int i=tot;i>=1;i--)
6             q[v[step[i]]--]=i;//每次将当前的i放入对应step[i]最右端的位置，然后将step[i]的最右端左移

简单地说可以理解为：将当前序列按照step值从小到大排序，对于相同的step值按照原来的出现顺序（下标顺序）从后到前排序。

如以下情况（实际的后缀自动机中是不会出现下面的例子的，这里仅仅方便理解用）

i

1

2

3

4

5

6

7

Step[i]

1

2

3

2

4

2

3

求step[i]的前最后和可得到：

i

1

2

3

4

V[i]

1

4

6

7

 所以相当于得到了这样一张表格：

step值

1

2

2

2

3

3

4

i

1

2

3

4

5

6

7

q[i]

★

 

 

★

 

★

★

★处即对应上面v[i]的值，表示按step值从小到大的顺序排序后，step值为i的数在q数组中最右端的下标。从后往前依次按照step值填入★处，然后对应的v[step[i]]减一，即将★左移一位。最后我们可以得到这样的结果：

step值

1

2

2

2

3

3

4

i

1

2

3

4

5

6

7

q[i]

1

2

4

6

3

7

5

②Sum值代表从当前状态出发不同的路径条数，即将孩子们的路径条数累加起来，再加上本身的s值。即sum[i]=s[i]+∑sum[j](j=next[i][k],k=0..25)

1 for(int i=tot;i>=1;i--)
2         {
3             sum[q[i]]+=s[q[i]];
4             for(int j=0;j<26;j++) sum[q[i]]+=sum[next[q[i]][j]];
5         }

 ③预处理结束之后，通过dfs找出第k小的路径。这有点类似与二十六分，每次先按字典序往后走，如果当前节点的s值大于当前的k，则说明到当前节点为止，退出dfs;否则k先减去当前s的大小。如果当前节点的sum值大于当前的k值，说明终止点再它的孩子中，输出当前节点对应的字母，k并继续往下深dfs；如果当前结点的sum值小于k，说明k大的子串不在这条路径上，直接将k减去sum并继续搜索下一条路径。（说起来有点绕，直接看代码）

 1 if (k<=s[d]) return;
 2          k-=s[d];
 3          for (int i=0;i<26;i++)
 4          {
 5              int tmp=next[d][i];
 6              if (tmp>0)
 7              {
 8                  if (k<=sum[tmp])
 9                  {
10                      printf("%c",i+'a');
11                      dfs(tmp,k);
12                      return;
13                 }
14                 k-=sum[tmp];
15             }
16         }

----搞了好久啊这道题，网上的大家都说是水题，可以得:D那我这个蒟蒻就以非常狼狈的姿势“水”过去好啦。以下代（正）码（文）：

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cstring>
  4 #include<algorithm>
  5 using namespace std;
  6 const int MAXN=500000+50;
  7 char str[MAXN];
  8 int len,sign,k;
  9 
 10 struct SAM
 11 {
 12     int step[MAXN*2],pre[MAXN*2],next[MAXN*2][26],q[MAXN*2];
 13     int v[MAXN*2],s[MAXN*2],sum[MAXN*2];
 14     int tot,last; 
 15     inline int newNode(int cnt)
 16     {
 17         step[++tot]=cnt;
 18         pre[tot]=0;
 19         for (int i=0;i<26;i++) next[tot][i]=0;
 20         return tot;
 21     }
 22     
 23     inline void extend(int x)
 24     {
 25         int p=last;
 26         int np=newNode(step[last]+1);
 27         s[np]=1;
 28         while (p && !next[p][x]) next[p][x]=np,p=pre[p];
 29         if (!p) pre[np]=1;
 30         else
 31         {
 32             int q=next[p][x];
 33             if (step[q]==step[p]+1) pre[np]=q;
 34                 else
 35                 {
 36                     int nq=newNode(step[p]+1);
 37                     for (int i=0;i<26;i++) next[nq][i]=next[q][i];
 38                     pre[nq]=pre[q];
 39                     pre[q]=pre[np]=nq;
 40                     while (p && next[p][x]==q) next[p][x]=nq,p=pre[p]; 
 41                 }
 42         }
 43         last=np;
 44     }
 45     inline void clear()
 46     {
 47         tot=0;
 48         last=newNode(0);
 49     }
 50     
 51     inline void prep()
 52     {
 53         for(int i=1;i<=tot;i++)
 54             v[step[i]]++;//累加每个step[i]的个数 
 55         for(int i=1;i<=tot;i++)
 56             v[i]+=v[i-1];//v[i]表示按step值从小到大的顺序排序后，step值为i的数在q数组中最右端的下标 
 57         for(int i=tot;i>=1;i--)
 58             q[v[step[i]]--]=i;//每次将当前的i放入对应step[i]最右端的位置，然后将step[i]的最右端左移 
 59         for(int i=tot;i>=1;i--)
 60         {
 61             if(sign==1)    s[pre[q[i]]]+=s[q[i]];
 62                 else s[q[i]]=1;
 63         }
 64         s[1]=0;//不要忘了根节点是虚点 
 65         for(int i=tot;i>=1;i--)
 66         {
 67             sum[q[i]]+=s[q[i]];
 68             for(int j=0;j<26;j++) sum[q[i]]+=sum[next[q[i]][j]];
 69         }
 70      }
 71      
 72      inline void dfs(int d,int k)
 73      {
 74          if (k<=s[d]) return;
 75          k-=s[d];
 76          for (int i=0;i<26;i++)
 77          {
 78              int tmp=next[d][i];
 79              if (tmp>0)
 80              {
 81                  if (k<=sum[tmp])
 82                  {
 83                      printf("%c",i+'a');
 84                      dfs(tmp,k);
 85                      return;
 86                 }
 87                 k-=sum[tmp];
 88             }
 89         }
 90      }
 91 }suf;
 92 
 93 void init()
 94 {
 95     scanf("%s",str);
 96     suf.clear();
 97     len=strlen(str);
 98     for (int i=0;i<len;i++) suf.extend(str[i]-'a'); 
 99     scanf("%d%d",&sign,&k);
100 }
101 
102 int main()
103 {
104     init();
105     suf.prep();
106     suf.dfs(1,k);
107     return 0;
108 }

 

posted @ 2016-08-04 15:52  iiyiyi  阅读(748)  评论(1)  编辑  收藏  举报