【费用流】BZOJ1061[NOI2008]-志愿者招募
【题目大意】
一个项目需要n天完成，其中第i天至少需要Ai个人。共有m类人可以招募，其中第i类可以从第Si天做到第Ti天，每人的招募费用为Ci元。求最小招募费用。
【思路】
byvoid神犇的建图详解，对理解网络流有很好的帮助，下面再引用一下，原po请戳：★
这道题正确的解法是构造网络，求网络最小费用最大流，但是模型隐藏得较深，不易想到。构造网络是该题的关键，以下面一个例子说明构图的方法和解释。
例如一共需要4天，四天需要的人数依次是4,2,5,3。有5类志愿者，如下表所示：
种类 1 2 3 4 5 时间 1-2 1-1 2-3 3-3 3-4 费用 3 4 3 5 6 设雇佣第i类志愿者的人数为X[i]，每个志愿者的费用为V[i]，第j天雇佣的人数为P[j]，则每天的雇佣人数应满足一个不等式，如上表所述，可以列出
P[1] = X[1] + X[2] >= 4
P[2] = X[1] + X[3] >= 2
P[3] = X[3] + X[4] +X[5] >= 5
P[4] = X[5] >= 3
对于第i个不等式，添加辅助变量Y[i] (Y[i]>=0) ，可以使其变为等式
P[1] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4
P[2] = X[1] + X[3] - Y[2] = 2
P[3] = X[3] + X[4] +X[5] - Y[3] = 5
P[4] = X[5] - Y[4] = 3
在上述四个等式上下添加P[0]=0,P[5]=0，每次用下边的式子减去上边的式子，得出
① P[1] - P[0] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4
② P[2] - P[1] = X[3] - X[2] -Y[2] +Y[1] = -2
③ P[3] - P[2] = X[4] + X[5] - X[1] - Y[3] + Y[2] =3
④ P[4] - P[3] = - X[3] - X[4] + Y[3] - Y[4] = -2
⑤ P[5] - P[4] = - X[5] + Y[4] = -3
观察发现，每个变量都在两个式子中出现了，而且一次为正，一次为负。所有等式右边和为0。接下来，根据上面五个等式构图。
- 每个等式为图中一个顶点，添加源点S和汇点T。
- 如果一个等式右边为非负整数c，从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c，权值为0的有向边；如果一个等式右边为负整数c，从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c，权值为0的有向边。
- 如果一个变量X[i]在第j个等式中出现为X[i]，在第k个等式中出现为-X[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为V[i]的有向边。
- 如果一个变量Y[i]在第j个等式中出现为Y[i]，在第k个等式中出现为-Y[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为0的有向边。
构图以后，求从源点S到汇点T的最小费用最大流，费用值就是结果。
根据上面的例子可以构造出如下网络，红色的边为每个变量X代表的边，蓝色的边为每个变量Y代表的边，边的容量和权值标已经标出(蓝色没有标记，因为都是容量∞，权值0)。
在这个图中求最小费用最大流，流量网络如下图，每个红色边的流量就是对应的变量X的值。
所以，答案为43+23+3*6=36。
上面的方法很神奇得求出了结果，思考为什么这样构图。我们将最后的五个等式进一步变形，得出以下结果
① - X[1] - X[2] + Y[1] + 4 = 0
② - X[3] + X[2] + Y[2] - Y[1] - 2 = 0
③ - X[4] - X[5] + X[1] + Y[3] - Y[2] + 3 = 0
④ X[3] + X[4] - Y[3] + Y[4] - 2 = 0
⑤ X[5] - Y[4] - 3 = 0
可以发现，每个等式左边都是几个变量和一个常数相加减，右边都为0，恰好就像网络流中除了源点和汇点的顶点都满足流量平衡。每个正的变量相当于流入该顶点的流量，负的变量相当于流出该顶点的流量，而正常数可以看作来自附加源点的流量，负的常数是流向附加汇点的流量。因此可以据此构造网络，求出从附加源到附加汇的网络最大流，即可满足所有等式。而我们还要求
最小，所以要在X变量相对应的边上加上权值，然后求最小费用最大流。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<vector> 6 #include<queue> 7 #define S 0 8 #define T n+2 9 using namespace std; 10 struct node 11 { 12 int to,pos,cap,val; 13 }; 14 const int MAXM=10000+50; 15 const int MAXN=1000+50; 16 const int INF=0x7fffffff; 17 int n,m,a[MAXN],s[MAXM],t[MAXM],c[MAXM]; 18 int pre[MAXN],preedge[MAXN]; 19 vector<node> E[MAXN]; 20 21 void addedge(int u,int v,int ca,int va) 22 { 23 E[u].push_back((node){v,E[v].size(),ca,va}); 24 E[v].push_back((node){u,E[u].size()-1,0,-va}); 25 } 26 27 int SPFA() 28 { 29 queue<int> que; 30 int vis[MAXN],dis[MAXN]; 31 memset(vis,0,sizeof(vis)); 32 memset(pre,-1,sizeof(pre)); 33 for (int i=S;i<=T;i++) dis[i]=INF; 34 que.push(0); 35 vis[0]=1; 36 dis[0]=0; 37 while (!que.empty()) 38 { 39 int head=que.front();que.pop(); 40 vis[head]=0; 41 for (int i=0;i<E[head].size();i++) 42 { 43 node &tmp=E[head][i]; 44 if (tmp.cap>0 && dis[tmp.to]>dis[head]+tmp.val) 45 { 46 dis[tmp.to]=dis[head]+tmp.val; 47 pre[tmp.to]=head; 48 preedge[tmp.to]=i; 49 if (!vis[tmp.to]) 50 { 51 que.push(tmp.to); 52 vis[tmp.to]=0; 53 } 54 } 55 } 56 } 57 if (dis[T]==INF) return 0;else return 1; 58 } 59 60 int mcf() 61 { 62 int flow=0; 63 int ans=0; 64 while (SPFA()) 65 { 66 int f=INF; 67 for (int i=T;pre[i]!=-1;i=pre[i]) 68 { 69 node &tmp=E[pre[i]][preedge[i]]; 70 f=min(f,tmp.cap); 71 } 72 for (int i=T;pre[i]!=-1;i=pre[i]) 73 { 74 node &tmp=E[pre[i]][preedge[i]]; 75 tmp.cap-=f; 76 E[tmp.to][tmp.pos].cap+=f; 77 ans+=f*tmp.val; 78 } 79 } 80 return ans; 81 } 82 83 void init() 84 { 85 scanf("%d%d",&n,&m); 86 for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); 87 for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&s[i],&t[i],&c[i]); 88 } 89 90 void build() 91 { 92 a[0]=a[n+1]=0; 93 for (int i=1;i<=n+1;i++) 94 { 95 int c=a[i]-a[i-1]; 96 if (c>0) addedge(S,i,c,0); 97 if (c<0) addedge(i,T,-c,0); 98 } 99 for (int i=1;i<=m;i++) 100 addedge(s[i],t[i]+1,INF,c[i]); 101 for (int i=1;i<=n;i++) addedge(i+1,i,INF,0); 102 } 103 104 int main() 105 { 106 init(); 107 build(); 108 cout<<mcf()<<endl; 109 return 0; 110 }
