Burnside引理与Pólya定理

正文

hht主要讲了Burnside引理的不完全证明和用Burnside引理推出Pólya定理
下面主要围绕这两方面来讨论

Burnside引理的不完全证明

有一个前置结论hht没有证明，说是需要引入很多无关的概念：

|Zk|⋅|Ek|=|G|

其中|Ek|表示一个等价类的大小，|Zk|表示作用在这个等价类上使等价类不变的置换的数量
这个引理的证明似乎要用到群里边的轨道？我们可以参见这里：https://en.wikipedia.org/wiki/Group_action#Orbits_and_stabilizers
以下的内容建立在我们认为这个引理是正确的基础上

我们先来看一看Burnside引理的形式：N=1|G|∑g∈Gχ(g)
那么我们只需要证明：N⋅|G|=∑g∈Gχ(g)
对于∑g∈Gχ(g)，我们实际上是先枚举置换，再枚举染色情况，再看是不是一个不动点
我们考虑换一个枚举顺序，我们枚举所有的染色情况，然后看有多少置换可以使这个染色情况成为不动点
那么这不就是|Zk|⋅|Ek|吗？于是N⋅|G|=∑|Zk|⋅|Ek|=N⋅G，得证

使用Burnside引理推导Pólya定理

我们还是考虑枚举置换

如果一个置换可以使一种染色情况成为不动点
那么这个置换的每一个循环节只能被染成同一种颜色
所以每一种置换g我们有km(g)种染色方案（k为可用的颜色数，m(g)为置换g的循环节）
于是我们就不用枚举所有的染色情况了，可以直接用km(g)计算

于是Pólya定理的公式就变成了N=1|G|∑g∈Gkm(f)
这个证明过程也非常直观地给出了Pólya定理不能解决带有颜色限制的染色问题的原因

来自ZYQN博客

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