反演

看了vfk的反演魔术，跪着膜。在这里稍微总fan结yi一下，总结得更精干一点。（就是总结各种反演及证明，然后总结到自己也看不懂。

 

二项式反演 ：

$f(x) = \sum\limits_{i = 0}^{n} \binom{n}{i}  g(i)$  ===>>  $g(i)=\sum_{i = 0}^{n} (-1)^{n - i} f(i)$

对于组合数我们有 $\sum\limits_{i = 0}^{n} (-1)^{i} \binom{n}{i} = \left [ n==0 \right ]$

然后有一句废话 $g(n) = \sum\limits_{i = 0}^{n} \left [ n - i == 0 \right ] \binom{n}{i} g(i)$

把上式代入有 $g(n) = \sum\limits_{i = 0}^{n} \sum\limits_{j = 0}^{n - i} (-1)^{j} \binom{n - i}{j} \binom{n}{i} g(i)$

我们发现 $\binom{n - i}{j} \binom{n}{i} = \binom{n-j}{i} \binom{n}{j}$ 的

所以有 $g(n) = \sum\limits_{i = 0}^{n} \sum\limits_{j = 0}^{n - i} (-1)^{j} \binom{n}{j} \binom{n-j}{i} g(i)$

然后可以交换 $\sum$ 符号 得到 $g(n) = \sum\limits_{j = 0}^{n} (-1)^{j} \binom{n}{j} \sum\limits_{i = 0}^{n - j} \binom{n - j}{i} g(i)$

注意最右边的那个小朋友！其实就是 $f(n - j) $！

然后把下标整理一下，我们就得到了二项式反演的公式，也就是我们一开始给出的那个公式。

莫比乌斯反演 ：

$f(x) =\sum\limits_{d|x} g(d)  ===>>  g(x) =\sum\limits_{d|x} \mu (d) f(\frac{x}{d})$

对于$\mu$ 函数我们有$\sum\limits_{d|n} \mu (d) = \left [ n==1 \right ]$

那么效仿之前的方式，$g(n) = \sum\limits_{d|n} \left [ \frac{n}{d} == 1 \right ] g(d)$

我们替换方括号内部分 $g(n) = \sum\limits_{d|n} \sum\limits_{k|\frac{n}{d}} \mu (k) g(d)$

$d|n$ 与$ k|\frac{n}{d}$ 实际上是枚举所有$c|n$且c=dk，所以等价于先枚举$k|n$，再枚举$k|\frac{n}{k}$。

交换求和顺序就有$g(n) = \sum\limits_{k|n} \mu (k) \sum\limits_{d|\frac{n}{k}} g(d)$ 

右边就是$f(\frac{n}{k})$

其实反演本质都是容斥原理