Stoer-Wagner算法学习笔记

SW算法是求全局最小割的一种O(n^3)算法，虽然可以用堆优化到O(n^2logn)，但在稠密图上效果好像并不太好。

算法流程 ：
1）设图G的min_cut=INF

2）设集合A为空集，w为累计权，随机选一个节点s，将s加入A，将所有与s相连的点i的wi加上s->i的边权

3）选出一个w值最大的不在A中的节点j加入s，将所有与j相连的点i的wi加上j->i的边权

4）如果|A|不等于|G|，执行3）

5）设最后加入的点为t，倒数第二个点为s，则s-t最小割为ws，用ws更新min_cut

6）将s，t缩成一个点，边也叠加到一起

7）如果|A|！=1，执行2），否则返回min_cut

自己看了下网上的证明，大多都是丢的paper，英文太渣看不懂。。。QAQ

然后自己就着自己的理解脑补了一下，说错别打我QAQ

首先我们考虑任意两个点为s，t，如果全局最小割中s，t不在一个集合中，那么显然全局最小割即为s-t最小割。否则我们将s，t缩成一个节点对于答案是没有影响的。

SW算法就是基于这一点，每次将问题规模减小后求解。以上还是很好理解的，但是为什么那样扩展节点就能保证是最小割呢？

我的理解是，一开始选择的节点是作为s-t的中间节点集，因为每次扩展是选取联系度最大的点扩展，所以中间节点集中点互相间的联系度是大于st到中间点集的联系度的，而最后加入的点t的联系度是最小的，所以最小割即为这个点的联系度，即为s通过中间节点集到t的流量加上s直接到t的流量。所以就证明了每次拓展求出的是s-t的最小割。