luogu 1593 因子和

因子和

题目描述

输入两个正整数a和b，求\(a^b\)的因子和。结果太大，只要输出它对9901的余数。

解法

基本算数定理，每一个数都可以被分解成一系列的素数的乘积，然后你可以分解出因数了。
如何求出因数和呢？我们发现是等比数列，之后我们上等比数列求和公式就好了

\[S_n = \frac{a_1 \times (1-q^n)}{1-q}=\frac{p_{i}^{c_i+1} -1}{p_i -1} \]

其中我们可以用快速幂和逆元求出来了

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const LL mod = 9901;
LL ksm(LL x,LL y) {
	LL z=1;
	while(y) {
		if(y&1) z=(z*x)%mod;
		y>>=1;
		x=(x*x)%mod;
	}
	return z%mod;
}
LL to[2],get=1;
int main() {
	LL a=0,b=0,tmp,lim;
	scanf("%lld%lld",&a,&b);
	lim=sqrt(a);
	for(LL i = 2; i <= lim; i ++) {
		if(!(a%i)) {
			tmp=0;
			while(!(a%i)) {
				a/=i;
				tmp++;
			}
			to[1]=(tmp*b+1);
			if(i%mod==1) get=get*(tmp+1)%mod;
			else {
				to[0]=i%mod;
				get=get*(ksm(to[0],to[1])-1)*ksm(to[0]-1,mod-2)%mod;
			}
		}
	}
	if(a!=1) {
		to[1]=(b+1);
		if(a%mod==1)get=get*(b+1)%mod;
		else {
			to[0]=a%mod;
			LL k=(ksm(to[0],to[1])-1)*ksm(to[0]-1,mod-2)%mod;
			get=get*k%mod;
		}
	}
	printf("%lld",get);
	return 0;
}